文/观察者网心智观察所

雅可比猜想于1939年由数学家Ott-Heinrich Keller提出，曾被视为代数几何领域里最重要的未解谜题之一。87年来，世界顶尖数学家不断试图证明这个猜想，却始终无法突破。如今，Claude Fable 找出了一种简单的三维多项式映射，轻轻松松给出了惊人的答案：近一个世纪以来被人们力图证明的雅可比猜想，居然是错的。

一条改变数学史的简短宣告

2026年7月20日，兼任Anthropic研究员的哈佛大学数学家Levent Alpöge在社交媒体上发布了一条简短消息，开门见山地宣布雅可比猜想是错的，随即感谢了他那位“在世界杯决赛期间还在干活的好朋友”：Claude Fable。

正文底下附上了一串谁都能验证的简单多项式：雅可比猜想的反例。

一个提出于1939年,写进21世纪数学问题清单，困住几代数学家的猜想，被一条短短数行字的社媒动态随手推翻。消息飞速传播，众人纷纷核对。AI竟能将突破性的数学成果以一种如此随意的形式呈现出来，引起不小的轰动。伦敦玛丽女王大学的数学家Abhishek Saha表示，迄今为止，这大概是AI参与度最高的一个数学猜想，“此事非同小可，过去一年来，AI的进步的确惊人。

一个80年的数学迷思

我们先从一个直观问题开始。不断拉伸、扭曲一张橡皮膜，但要求任何一个极小区域都不能被压扁（也即降维）。数学家会问：如果每一个局部区域都的维度没有破损，那么整张橡皮膜上是否一定不会发生这种折叠：即两个位置被揉成同一点的情况？

这正是雅可比猜想试图回答的问题。

考虑一个多项式映射：

F: ℂⁿ → ℂⁿ

什么是多项式映射？简单来说，就是把一个n维空间中的点，通过几个多项式公式，搬运到同一个空间的另一组坐标上。二维空间和三维空间的映射分别是F(x,y)=(f(x,y),g(x,y))F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))。可将映射F视为一种变形操作，可以压缩，可以拉伸，可以扭曲，可以平移。

雅可比行列式是雅可比矩阵的行列式，雅可比矩阵的元素是映射的偏导：

雅可比行列式可以理解为一个微小空间经过映射后的体积变化率。当雅可比行列式等于-2时，意味着这个微小空间的体积被放大了两倍，同时发生方向翻转。而当雅可比行列式不为0时，根据反函数定理，这个映射在局部一定存在逆变换，它不会把一个立体空间压缩成低维平面。

但问题在于：局部可逆，是否意味着整体可逆？

雅可比猜想认为，如果一个多项式映射的雅可比行列式在整个空间中恒等于某个非零常数，那么这个映射一定存在一个多项式逆映射。换句话说，只要橡皮膜的每一个微小区域都没有被压扁（降维），并且每一点的局部体积缩放率完全一致，那么整体上就不应该发生折叠，不应该出现橡皮膜上的两个不同位置被揉到同一个点的情况。

这是一个典型的“从局部推向全局”的数学难题。自1939年提出以来，雅可比猜想困扰数学界近87年，成为现代代数几何中最著名的问题之一。

世界杯决赛夜的反例：AI如何颠覆87年的信念

2026年7月19日，恰逢世界杯决赛夜，Alpöge与好友Akhil Mathew讨论雅可比猜想。Mathew提出了一个关键问题：能否找到雅可比猜想的反例？Alpöge将这个任务交给了AI模型。

在世界杯决赛的喧嚣声中，AI模型继续干活。它没有顺着人类的思路去证明猜想，而是直接在三维空间中甩出了一个简单的反例。

这个三维多项式映射是：

F: ℂ³ → ℂ³

P = (1+xy)³z + y²(1+xy)(4+3xy)

Q = y + 3x(1+xy)²z + 3xy²(4+3xy)

R = 2x − 3x²y − x³z

这个映射具有两个令人震惊的性质。

第一，它满足雅可比猜想的要求。计算得到其雅可比行列式恒等于 −2。也就是说，无论 x、y、z 取什么值，都不会出现局部被降维的情况。按照雅可比猜想，F的逆函数应该存在。

第二，它却不是一一对应。AI找出了三个完全不同的点：

A = (0, 0, −1/4)

B = (1, −3/2, 13/2)

C = (−1, 3/2, 13/2)

它们都被F映射到了同一个点：(−1/4, 0, 0)。

三个完全不同的位置被映射到了同一个地方，这就意味着F没有逆函数：因为，假如 F的逆函数存在，那么 F(A)的逆函数必须同时等于 A、B、C，显然不可能。

这个反例精简且优雅到了令人发指的地步。任何一个学过微积分的学生都可以自行求偏导验证。大受震撼的教授和学生们争相求证，发现结果完全正确。

伦敦玛丽女王大学的Abhishek Saha指出：“有些问题很难解决，可一旦有了解决方案，验证起来相当容易。这个反例就是这样。我不知道他是怎么做到的，给AI的提示到底是什么，因为穷举一切是行不通的。”

雅可比猜想与张益唐

雅可比猜想之所以重要，是因为这个猜想连接了多个数学领域：代数几何、交换代数、奇点理论、微分拓扑。美国数学家史蒂夫·斯梅尔（Steve Smale）曾将雅可比猜想列入21世纪数学的18个重要问题之一。

大量研究显示，在很多特殊情况下，只要满足雅可比条件，映射确实可逆。数学家们不断发现：低维情况成立，特殊类型成立，某些高阶情况成立，这些结果也就强化了人的直觉：雅可比猜想应该是真的，只是证明太难。与此同时，人的直觉倾向于认为局部维度不损失，且每一处缩放率完全一致，则整体上不会发生折叠。于是大家都沿着证明的道路继续往下走。

雅可比猜想与数学家张益唐之间还有一段特殊的陈年旧事。80年代，年轻的张益唐在美国普渡大学攻读博士，研究方向正是雅可比猜想。他的博士论文《The Jacobian Conjecture and the Degree of Field Extension》试图从一个夫案件角度切入雅可比猜想，然而，他的证明依赖了其导师莫宗坚此前发表的一个引理，而这个引理随后遭到证伪，证明链条无法成立。这场挫折大大影响了他的学术道路，导致他博士毕业后拿不到导师推荐信，无法在学术界立足。

87年来为何无人发现？

那么，一个问题自然就出现了：这个反例这么简单，多项式的次数如此之低，系数也小，87年里，难道没人做过一次小范围的穷举搜索吗？没人知道转一个弯吗？

答案或许在于数学研究的思维惯性。数学家习惯了证明，而不是寻找反例。而AI没有这种惯性，它可以在人类难以搜索的巨大空间中探索，挖掘人类思维盲区中的可能性。

如果确认，又意味着什么？

如果这个反例通过数学界的严格验证，其影响将是巨大的。

第一，它说明雅可比猜想不是难证，而是错了。87年的研究方向需要重新整理。

第二，数学中“局部控制整体”的思想将受到冲击。过去很多数学家相信：只要每一点附近没有问题，整体结构就不会出问题。这个反例说明：高维空间之中可能隐藏着更加复杂的折叠机制。

第三，AI进入数学研究的新阶段。过去人们讨论的是AI能不能证明定理？但这个事件提出另一种可能：AI可以帮人类发现人类提出的问题本身是否正确。

不过，这并不意味着雅可比猜想的所有版本都会宣告死亡。这个反例是在三维空间中证伪了猜想，但二维版本在理论上仍可能为真。也有学者提醒，找到反例不等于建立全新数学分支，后者仍然需要人类的创造力。

AI会成为数学家的实验机器吗？

数学证明仍然需要严格逻辑。一个AI找到候选反例之后，人类数学家必须验证公式、检查计算、建立严格证明、判断其理论意义，并不等于被AI代替。

但AI改变了一件事：过去，数学家的搜索空间是有限的，现在AI可以探索数百万乃至数十亿种结构。这就类似于物理学中的实验。伽利略之前，人类只能依靠直觉猜测。实验出现后，自然规律开始接受检验。未来，AI可能成为数学家的实验设备。它不会替代数学家提出深刻问题，但可以告诉人类：这个方向走了将近一个世纪，其实是误入歧途。

属于AI的数学大航海时代已经来临

从欧几里得几何到非欧几何，从经典物理到量子力学，科学史上每一次重大转折，都始于某种“理所当然”被击碎的时刻。

87年来，数学家们沿着一条看似笔直的道路前行：提出猜想、寻找证明、建立理论。所有人都相信雅可比猜想是真的，毕竟它太直观了。但Claude Fable 在世界杯决赛夜给出的回答逆转了人的认知。这个反例的震撼之处不在于它有多复杂，而恰恰在于：87年来，没有任何一个人类数学家想到要去这个简单反例的角落里瞅一眼。

这就是AI带来的转变。过去的数学研究如同在一片已知的海域中航行。数学家凭借直觉、经验和深厚的学养，选择最有希望的方向进行探索。这种模式缔造了无数辉煌，但也纵容了人类思维的惯性,我们总是倾向于证明那些“应该是对的”东西，而不是质疑那些“显然成立”的前提。

AI没有这种惯性。它不崇拜猜想，不畏惧权威，不被显而易见所影响。AI愿意驶向任何一片未知的海域，哪怕那里看来空无一物。

在未来，数学家与AI的关系，也许会成为探险家与罗盘的关系，人类负责提出深刻的问题，指引前行的方向；而AI负责探索那些人类直觉无法触及的隐秘角落，然后告诉人类：你走的是死胡同，你以为并不存在的东西其实就在那里。

这是雅可比猜想的故事，更是未来数学的预言。属于AI的数学大航海时代已然来临。

参考文献

https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566

来源|心智观察所