一． 解答下列各题：

1. 计算:︱2lg5-0.01-1/2︱+ -(1-i/ )100

解：原式=|2lg5-0.01-1/2|+ -[(1-i/ )2]50 =10-2lg5+1-(-i) 50

=10

2. 已知x为实数，求函数y=arccos（2x2-x）的定义域和值域

解:∵-1≤2x-x≤1,所以

x2-x+1≥0

2x2-x-1≤0

解之:-1/2 x 1

又2x2-x=2(x-1/4)2-1/8

-1/8 2x2-x 1

故0≤arccos(2x2-x) arccos(-1/8)

3. 解方程：cosx/2+cosx=1

解:cosx/2-2cos2x/2-1=1

2cos2x/2+cosx/2-2=0

解之得:cosx/2=-1 /4

(因为-1- <-1所以舍去)

所以x/2=2k arccos（ -1）/4

故x=4k arccos（ -1）/4（k为整数）

4. 设双曲线的极坐标ρ=2/ -2cosθ求它的渐近线的倾角和夹角。

解:将原方程化为直角坐标方程后,不难得出两条渐近线的倾角分别为45°和135°

显然它们的夹角是90°

5.已知：x、y、z为三个正实数，并且x+y+z=3，

1/x+1/y+1/z=3，求：x2+y2+z2的值

解:∵x+y+z=3,1/x+1/y+1/z=3

∴x+1/x+y+1/y+z+1/z=6

而x+1/x ，且x 0

y+1/y ，且y 0

z+1/z ，且z 0

于是(x+1/x)+(y+1/y)+(z+1/z 6

因此x=1/x,y=1/y，z=1/z

故x2+y2+z2=3

5. 求证：0，1， 这三个数不可能为任何一个等差数列的某三项。

证明：假设0，1， 为一个等差数列的某三项，即;

0=a1+k1d

1=a1+k2d

=a1+k3d

(k1、k2、k3为互不相等的非负整数)

于是可得： =k3-k1/ k2-k1

这里由于k1,k2，k3都是不相等的引负整数

显然k3-k1/ k2-k1具有理数，但 是无理数

故假没不能成立,原命题成立。

二． 设有一复数Z

（1） 求证：︱Z︱2=Z*Z’

（2） 求满足Z*Z’+Z+Z’=3的点Z的轨迹（其中Z’是Z共轭的复数）

证明:(1)设Z=x+yi，Z =

Z’=x-yi， Z 2=x2+y2

Z Z’=（x+yi）（x-yi）=x2+y2

所以︱Z︱2=Z*Z’

(2)解: x2+y2+x+yi+x-yi=3

x2+y2+2x=3

所以(x+1)2+y2=4

故动点Z的轨迹是以(1.0)为中心 ,以2为半径的圆。

三.已知：圆0的半径OA、OB互相垂直，过狐AB上任意一点C作切线和OA、OB的延长线分别交于D、E，由C向OD引垂线CF求证：三角形OAB是三角形OCF面积和三角形ODE的面积的比例中项。

证明：从F向GC引垂线FG,

所以S△OAB=OA×OB/2

S△OCF=OC×FG/2

而且OC=OA=OB

所以S△OCF/S△OAB= FG/OC

同理S△OAB/S△ODE= OC/ DE

而∠D0B=90°CF⊥OD ∠FOC=∠E

所以△OFC △EOD

于是FG/OC = OC/ DE

因此 S△OCF/S△OAB=S△OAB/S△ODE

即△OAB的面积是△OCF的面积和△ODE面积的比例中项。

四.正三角形ABC内有一塔PQ，由塔顶看A、B、C三点的俯角分别为60°，30°，30°，若正三角形ABC的边长为1，就塔高。

解：设塔高PQ=x

∵AQ= /3x

BQ=CQ= x

而△QBC为等腰三角形 则有:

AD= /2

QD=AD-AQ= /2- /3x

在Rt△QBD中,BD2+QD2=QB2,

即(1/2)2+( /2- /3x)2=( x)2

化简得：8x2+3x-3=0而x>0

X= -3/16

3答:塔高为 -3/16

五．AB为单位圆的直径，M为圆周上的动点，，过M的切线与A、B的切线相交于C、D，求梯形ABDC对角线交点P的轨迹。

解:取直径AB所在直线为x轴,圆心为坐标原点，到单位圆为：x2+y2=1设M(x。，y0)交点P(x，y)

则过M的切线方程为x0x+ y0y=1

而A(-1,0)，B(1,0),C(-1,1+x0/y)和D（1,1-x0/y)

AD:y=（1- x0）/2y0(x+1)

BC:y=-（x0+1）/2y0（x-1）

由此得AD与BC交点P的坐标x，y与M点的坐标x。yo间的关系x0=x，y0=1-x2/2y，

而x02+y02=1

故得x2+(1-x2/2y)2=1

即(x2-1)(4y2+x2-1)=0但x2-1 0

否则就是在A，B点的切线,因此P的轨迹是椭圆:x+4y2-1=0

六．已知AB=2a，C是以AB为直径的半圆上一点，过一圆于AB相切于H,连 AC、BC，求被圆C截去后,三角形ABC余下部分的面积的极大值，并求此时AC:BC值。

解:设∠CAB= (0< < /2)

则有:AC=2acos ，

BC=2asin

CH=2asin =asin2

设余下部分面积S:

S=AC×BC/2- CH2=a2sin2 - a2sin22 /4

=- 2(sin -2/ )2+a2/

当sin =2/ ，S极大= a2/

当S极大时，AC/BC=cot =1/tan

又2/ =sin =2tan tan2

所以，tan = /2

BC/AC=2/

AC/BC= /2

七．设抛物线y=4-x2于直线y=3x的二交点A、B，点P在抛物线上且由A到B运动。

（1）求当三角形PAB面积最大时，P点的位置P(x0，y0)

（2）证明：与线段AB平行的直线和抛物线相交于CD连点，线段CD被直线x=x0分成二等分。

解：（1）y=4-x2

y=3-x

3x=4-x2

即（x-1）（x+4）=0

所以-4

当P(x0，4-x02)

距离最大时，S PAB最大

d= 3x0-4+x02 / =4-3x0-x02/

=1/ [25/4-(x0+3/2)2]

当x0-3/2时，d最长

此时P点位置为(-3/2，7/4 )

(2)设lCD，y=3x+b

所以 y=3x+b

y=4-x2

x2+3x+b-4=0

以至x1+x2/2=-3/2=x0 ，

故线段CD被直线x=x0所平分。

八．已知方程组 x+y+z=2m 1

x+y-z=2 2

x2+y2+z2=2+3/2m2 3

（x，y，z为未知数，m为实数）

（1） m为怎样的值时，x，y，z取实数

（2） m为怎样的值时，方程组的解x，y，z可以为一个三角形的三个边的长

（3） 这样的三角形可以是等腰三角形吗

在这样的一个三角形中，z可以是直角三角形的斜边吗?

解:（1）当1，2得：z=m-1

x+y=m+1

代入3得：（x+y）2-2xy+z2=2+3/2m2

于是xy=m2/4

据韦达定理设x，y为方程n2-(m+1)n+ m2/4=0

的两个根依题意解之得：

当m=-1/2 x=y=1/4

z=-3/2

当m -1/2 x=y=（m+1） /2

z=m-1

（2）根据题意当：x 0 4

y 0 5

z 0 6

且 x-y x+y 7

对x，y，z方能为三角形得三个边，由4，5，6得：m 1

由7得：

故m 4时方程组的解是 ABC的三个边

(3)若为等腰三角形设x=y，此时m=-1/2

与m 可成三角形三边相矛盾，

又设x=z或y=z则z=m-1，满足方程：(m-1)2-(m-1)(m-1)+m2/4=0

m>4，所以m=2 +4

此时x=z=3+2 ，y=2

y=z=3+2 ，x=2

(4)若z为直角三角形奶斜边 ，

则有z2=x2+y2=(x+y)2-2xy

即(m-1)2=(m+1)2 –m2/2，m=0(不合题意)。所以，m=8，此时三边为：9- /2，9+ /2，7