一．求下列各题的解题过程：

1.求y= 的定义域和值域。

解：对于函数y= 有：

log5sinx 1

sinx 2

解不等式1得：

由log5sinx =log51，因为对数函数y= log5u在（0， ）上是增函数，所以可得sinx

又因为正弦函数sinx的值域是[-1,1]，所以sinx=1

解不等式2得：

sinx 的解为2 x （2k+1） k Z

综合两个不等式的解,当sinx==1时，

2 x （2k+1） ，k Z时，x=2k + /2，k Z

所以函数y= 的定义域wei：

{x x= x=2k + /2，k Z}

求函数的值域：

当x= x=2k + /2，k Z时，sinx=1则

log5sinx=log51=0

那么，y= =0，所以函数y= 的值域为{0}

2.如果 x-3 = 3-x 成立，求实数x的范围。

2-x 2-x

解：对于等式： x-3/2-x =3–x/2-x，根据绝对值的性质

a =a，当且仅当a 0，所以3–x/2-x 0（因为3-x/2-x=-（x-3）/2-x，原等式可转化为 x-3/2-x =-（x-3）/2-x，即x-3/2-x是非正数）

同时，因为该式是一个分式，分母不能为0，即2-x 0

x–3/2-x 0且2-x 0

x–3/2-x 0等价于(x–3)(2-x) 0且2-x 0

(x–3)(2-x)=0,其零点为x=3和x=2

将(x–3)(2-x) 0变形(x–3)(x-2) 0

得到：x 2，且x

3.已知 a2x =2（a ），求a3x-a-3x/ax-a-x 的值

解：a2x=（ ax ）2=2，即 ax=

原式= ax3-1/ ax3/ ax-1/ ax=（ ）3-1/（ ）3/ -1/

=（2 -1/2 ）/1/ =8-1/2=7/2

4.解方程︱Z︱+Z=2+i

解： Z = ，Z=a+bi

+ a+bi=2+i，则

+a=2 1

b=1 2

将2代入1得：

+a=2

移项得到： =2-a

两边同时平方，得到：a2+1=（2-a）2=4-4a+a2

化简得到：

a=3/4，解为Z=3/4+i

5.求函数y=tgx-ctgx的周期

解：根据三角函数的基本关系：tanx=sinx/cosx

cotx=cosx/sinx

y=sinx/cosx-cosx/sinx=sin2x-cos2x/sinxcosx，

cos2x=-（ sin2x-cos2x），sinxcosx=1/2sin2x

y=-cos2x/1/2sin2x=-2cot2x

对于余切函数y=Acot（ x+ ）周期为T= / ,y=-cot2x，T= /2

所以，y=tgx-ctgx的周期T= /2

6.长方体ABCD–A’B’C’D’的对角线于过定点的三条棱线的夹角а、β、г，求（1）cos2а+cos2β+cos2г

（2）sin2a+sin 2β+sin2г

解：（1）已知长方体ABCD-A’B’C’D’的对角线与过一顶点的三条棱的夹角为

根据三角函数的定义：cos =a/l，cos =b/l，cos =c/l，

由于长方体的对角线公式：l2=a2+b2+c2，则

cos2а+cos2β+cos2г= a2+b2+c2/ l2=1

（2）sin2a+sin 2β+sin2г=1- cos2а+1-cos2β+1-cos2г

=3-( cos2а+cos2β+cos2г)=2

7.已知不等式ax2+bx+3 0的解是-3 ，求：a，b的值

解：不等式为（x+3）（x-1） 0，根据题意得：

x2+2x-3 0，则-x2-2x+3 0，a=-1，b=-2

8.求值：cos（2arctg /3+arcsin12/13）

解：计算arctg /3的值，因为反正切函数y= arctg /3得定义域为R,值域为（- /2， /2），且tana= /3，所以a= /6，2arctg /3= /3

设 =arcsin12/13，根据反正弦函数y= arcsinx的定义域是[-1,1]值域是[- ],sin =12/13，由三角函数的平方关系：sin2 +cos2 =1，cos = ，因为 ,在这个区间内从事、的值非负，所以，cos 5/13,

cos（ /3+ ）=cos /3cos sin /3sin =1/2×5/13- /2×12/13=5-12 /26

9．正四棱台的上下底面边长分别为2cm、4cm，侧棱与底边的夹角为45°，求它的体积。

解：设正四棱台为ABCD-A’B’C’D’，OO’分别是上下底免得中心，连接OO’,OA,O’A’,过A’作A’E OA于点E，

因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面正方形边长a=2cm，则O’A’= /2×2= cm，下底面正方形边长b=4cm，则OA= /2×4=2 cm，

由于OO’⊥地面ABCD,A’E⊥OA,所以，A’E=OO’(正四棱台的高)

∠A’AO就是侧棱AA’与底面所称的角，已知侧棱与底面夹角为45°，即

∠A’AO=45°

在RtΔA’EA中，AE=OA-O’A’=2 - = cm

因为∠A’AO=45°，tan∠A’AO=A’E/AE，tan45°=1，所以，A’E=AE= cm，

根据正四棱台的体积公式：V=h（S+S’+ ）/3=1/3（2×2+4×4+ ）× =28 /3cm

10.直线θ=а，分别和直线

（1）ρcos（θ-а）=a，

（2）ρsin（θ-а）=a，有怎样的位置关系？

解：对于直线θ=а

在极坐标与直角坐标的转换关系中，

x=

y=

tan =y/x（x 0）直线θ=а表示过极点且与极轴夹角为a的直线，其直角坐标方程为y=xtana，即y-xtana=0

对于直线 =a

根据两角差的余弦公式：

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB将 展开得：

（cos cosa+sin sina）= + sin sina

因为x= ，y= 所以：

x +ysina-a=0

对于直线ρsin（θ-а）=a

根据两角差的正弦公式：

ρsin（θ-а）=ρ（sinθcosа-cosθsina）

=ρsinθcosа-ρcosθsina=a，由x= ，y= 化简：

ycosa-xsina-a=0即xsina-ycosa+a=0

（1）判断直线θ=а与ρcos（θ-а）=a的位置关系：

根据两直线A1x2+B1x+C1=0和A2x+B2y+C2=0的夹角公式：

tan = A1B2-A2B1 / A1A2+B1B2 （ 为两直线夹角）

对于直线：y-xtana=0和xcosa+ysina –a=0

A1=-tana，B1=1,A2=cosa，B2=sina

A1B2-A2B1=-tanasina-cosa=-（sin2a+cos2a）/cosa=-1/cosa

A1A2+B1B2=-tanacosa+sina=0

因为A1A2+B1B2=0，所以直线θ=а与 =a互相垂直。

（2）判断直线θ=а与ρsin（θ-а）=a的位置关系：

对于直线y-xtana=0和xsina-ycosa+a=0，其中

A1=-tana，B1=1,A2=sina，B2=-cosa

A1B2-A2B1=-tana×（-cosa）-sina=sina –sina=0

所以，直线θ=а与ρsin（θ-а）=a互相垂直。

二．求证：4/log210+2/log310+1/log710 3

解：左边=4两个/lg10+2lg3/lg10+lg7/lg10=lg16×9×7=lg1008 lg1000=3=右边

三．当α、β为何时，方程xsina+sinβ+xcosa-cosβ=x有无数解？

解：1.将原方程整理为：x(sina + cosa-1)+（sinβ-cosβ）=0

2.有无数解的条件，必须同时满足：

sina + cosa-1=0 1

sinβ-cosβ=0 2

由1得：sina + cosa=1

sin（a+45°）=1

sin（a+45°）= /2

解得：a+45°=45°+k360

a=90°+k360°

由2得：sinβ-cosβ=0 ，sinβ=cosβ，tanβ=1

β=45°+ k180°

当a=90+k360°时，sina=1，cosa=0，此时，满足条件；

当a=k360°时，sina=0，cosa=1，此时，也满足条件。

结论：当β=45°+k180°时，方程有无数解。

当a 90°且a/2 45°方程有无数解。

四．a、b是两条异面直线，A1、A2是直线a上的两个点，B1、B2是直线b上的两个点，求证：A1B1，A2B2也是异面直线。

证明：（1）假设A1B1∥A2B2,由于A1,A2在a上，B1,B2在b上，平行关系会迫使a∥b，与a和b是异面直线矛盾；

（2）A1B1和A2B2相交于某点P,由于A1B1和A2B2分别由a和b上的点连接而成，P必须在a和b的公共平面上，这意味着a和b共勉与已知矛盾；因此，A1B1，A2B2必是异面直线。

五．已知：三角形ABC的三个边a，b，c成等差数列，求证：cosA+2cosB+cosC=2

解;利用正弦定理将边化为角：

因为2b=a+c，由正弦定理：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为ΔABC外接圆半径)，可得a=2RsinA.b=2RsinB,c=2RsinC,将期待如2b=a+c，得到

2×2RsinB=2RsinA+2RsinC，则：

2sinB=sinA+sinC

cosA+2cosB+cosC化简：原式= cosA+cosC+2cosB

cosA+cosC=2cos(A+C)/2cos（A-C）/2,又因为在ΔABC中，A+B+C=

A+C/2=( cos (A+C)/2=cos( =sin

所以，cosA+cosC=2sin cos（A-C）/2

2cosB=2(1-2sin2B/2),则：

cosA+2cosB+cosC=2sin cos（A-C）/2+2(1-2sin2B/2)

2sinB=sinA+sinC,

2sinB=sin （A+C）/2cos（A-C）/2

又因为：sinB==2sin cos ，

sin （A+C）/2=sin( =cos

2×2sinB/2cosB/2=2 cos（A-C）/2

由于0 B ,则0 B /2，cos B 0，两边同时约去2cosB/2,2sinB/2= cos（A-C）/2

将2sinB/2= cos（A-C）/2化简：cosA+2cosB+cosC=2sin cos（A-C）/2+2(1-2sin2B/2)=4sin2B/2+2-4 sin2B/2=2

六．已知AC是圆O的直径，过A作圆O的切线AP,过P再作圆O的切线PB,切点是B,过B作AC的垂线交AC于E,连PC,求证PC平分BE。

解：建立坐标系：以圆心为原点坐标（0，0）,AC轴为x轴，因此A点坐标为（-r，0）,C点坐标为（r，0）r为圆的半径，AP为过A点的切线，由于OA在x轴上，AP垂直于OA，故AP为垂直于x轴的直线即AP的方程为x=-r，因此，P点在AP上其坐标为（-r，t）（t为不等于零的任意实数）

PB是从P到圆O的另一条切线，切点为B(x1，y1)，根据其欸西安方程，过圆上一点（x1，y1）的切线方程x1x+y1y=r2（因为圆心在原点，半径为r），这条切线经过P(-r，t)，所以代入得到：-rx1+ty=r2，同时，点B(x1，y1)在圆上，满足x12+y12=r2，又PB垂直于OB,即:向量OB×向量PB=0,向量OB=（x1，y1），向量PB=(x1+r，y1-t)，它们的点积为x1（x1+r）+y1（y1-t）=0即x12+rx+y12-ry1=0，由于x12+y12=r2

代入：rx1-ty1=-r2这与之前通过切线方程得到的方程：-rx1+ty=r2是一致的。

求B点的坐标：-rx1+ty=r2

x12+y12=r2

得到：（t2+r2）x12+2r3x1+r4-r2t2=0，当x1=-r时，y1=（r2+r

×(-r)/t=0即点A(-r，0)，另一个根根据韦达定理，两根之和为：-2r3/（t2+r2）则x2+（-r）=-2r3/（t2+r2）

x2=r（t2-r2）/（t2+r2），y2=2r2t/（t2+r2）则B点的坐标为：（r2t/（t2+r2），2r2t/（t2+r2））

点E的坐标为（r2t/（t2+r2），0）则：BE的中点坐标为M(r2t/（t2+r2）, r2t/（t2+r2）)

直线方程PC：P点坐标（-r，t）C点坐标（r，0），直线方程的斜率为：k=t/-r-r==-t/2r，y-t=-t/2r（x+r）

y=-tx/2r+t/2

将M点的坐标代入直线PC方程：左右相等，因此中点M在直线PC上,则M点平分BE。

七.已知抛物线y=3x2-6x+5，若抛物线的顶点不动，把开口反向，再沿对称轴上、下平移，得到一条新的抛物线，这条新的抛物线恰与直线y=mx-2相交于点（2，-4）求:

（1）新的抛物线的方程；

（2）求新的抛物线与直线y=mx-2的另外的一个交点坐标。

解：（1）在y=3x2-6x+5中，x=-b/2a=--6/2×3=1，代入式中，得：y=2，所以，原抛物线顶点坐标为（1，2）

因为新抛物线的顶点不懂且开口向下，所以新抛物线得二次项系数a=-3，设新抛物线得解析式为y=-3（x-1）2+k将交点（2，-4）代入：-4=-3（2-1）2+k，k=-1

所以新抛物线为：y=-3（x-1）2-1

y=-3x2+6x-4

因为新抛物线与直线y=mx-2交于点（2，-4），将点（2，-4）代入直线y=mx-2，m=-1所以直线方程为：y=-x-2.

联立方程：y=-3x2+6x-4

y=-x-2

解得：x1=2（已知焦点的横坐标），x2=1/3，y=-1/3-2=-7/3

所求的交点为（1/3，-7/3）

八．求证:x2/25+y2/9=1的右焦点F2的弦的中点的轨迹是和已知椭圆离心率相同的椭圆。

解：椭圆方程：x2/25+y2/9=1的离心率e=c/a= /5=4/5

右焦点为(4,0)

设弦的斜率为k：y-0=k（x-4）

X2/25+[k（x-4）]2/9=1

（9+25k2）x2-200k2x+（400k2-225）=0

设交点A,B，中点为M（x，y）

x=x1+x2/2，x=200k2/9+25k2，解得：k2=9x/100-25x

y=y1+y2/2 =k（x1-4）+k（x2-4）/2=k（x1+x2/2-4）=k（x-4）

y2=k2（x-4）2=9x/100-25x（x-4）2，y2=9x（4-x）/25

整理得到：（x-2）2/4+y2/36/25=1，e’=c/a= /2=4/5，e’=e，所求的轨迹方程为：（x-2）2/4+y2/36/25=1，