2025年学生将迎来新版教材，新教材将更加重视思维和阅读！为了方便广大学生在暑假预习新学期的课本知识，我们整理了2025新

冀教版九年级英语（全册）一电子课本，以图片的形式呈现给大家，希望对同学们的暑期学习有所帮助。

如需全套电子课本PDF版，请关注公众号“桃李科普”回复：“电子课本”

冀教版九年级英语（全册）电子课本在线阅读

九年级数学中，一元二次方程的重点题型围绕 “解方程”“列方程解应用题”“根的判别式与根与系数的关系应用” 展开，具体如下：一、基础必考题：一元二次方程的解法核心是根据方程特点选择合适方法，确保计算准确，常考形式：直接开平方法：针对形如\((x+a)^2 = b\)（\(b\geq0\)）的方程，如：

解方程\((2x-1)^2 = 9\)（直接开方得\(2x-1=\pm3\)，再求根）。配方法：针对二次项系数为 1 或易配方的方程（常作为解题步骤，如求最值），如：

用配方法解方程\(x^2 - 4x - 5 = 0\)（配方为\((x-2)^2=9\)，再开方）。公式法：通用方法（所有一元二次方程均适用），步骤：

① 化为一般式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）；② 计算判别式\(\Delta=b^2-4ac\)；

③ 若\(\Delta\geq0\)，代入求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)，如解方程\(2x^2-5x+1=0\)。因式分解法：针对可分解为\((mx+n)(px+q)=0\)的方程（快捷方法），如：

解方程\(x^2 - 3x = 0\)（提公因式得\(x(x-3)=0\)，根为\(x_1=0,x_2=3\)）；

解方程\(3x^2 - 2x - 5 = 0\)（十字相乘法得\((3x-5)(x+1)=0\)）。二、高频应用题：列一元二次方程解实际问题关键是 “找等量关系”，根据题意设未知数，列方程求解后需验证是否符合实际意义，常考场景：增长率 / 降低率问题：

公式：初始量\(\times(1\pm 增长率)^n = 最终量\)（n为增长次数）。

例：某工厂去年利润为 500 万元，今年利润增长后为 605 万元，求平均年增长率（设增长率为x，列方程\(500(1+x)^2=605\)）。面积问题：

围绕 “图形面积变化”（如矩形、三角形、圆形的拼接 / 裁剪），需结合几何公式列方程。

例：一块矩形菜地长 20m，宽 10m，在它四周修宽为xm 的小路，小路总面积为 136m²，求x（先表示修路后总尺寸，再用 “总面积 - 菜地面积 = 小路面积” 列方程：\((20+2x)(10+2x)-20\times10=136\)）。销售利润问题：

公式：总利润 =（售价 - 成本）× 销量，需注意 “售价变化对销量的影响”（如单价降 1 元，销量增m件）。

例：某商品进价 20 元，售价 30 元时每天卖 200 件，若单价每降 1 元，销量增 20 件，求售价定为多少时，每天利润为 2250 元（设降价x元，列方程\((30-x-20)(200+20x)=2250\)）。行程问题 / 工程问题：

结合 “速度、时间、路程” 或 “工作效率、时间、工作量” 的关系，常涉及 “相遇”“追及” 或 “合作”，如：

例：A、B 两地相距 120km，甲、乙两车同时从 A 出发到 B，甲车速度比乙车快 10km/h，甲车比乙车早 1 小时到达，求甲、乙车速（设乙车速度为xkm/h，列方程\(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+10}=1\)）。三、综合提升题：根的判别式与根与系数的关系（韦达定理）根的判别式（\(\Delta=b^2-4ac\)）的应用：判断根的个数：\(\Delta>0\)（两不等实根）；\(\Delta=0\)（两相等实根）；\(\Delta<0\)（无实根）。

例：若方程\(kx^2-2x+1=0\)有两个不相等实根，求k的取值范围（需满足\(k\neq0\)且\(\Delta=4-4k>0\)，即\(k<1\)且\(k\neq0\)）。已知根的情况求参数：如方程\(x^2+2x+m=0\)有实根，求m的取值范围（\(\Delta=4-4m\geq0\)，即\(m\leq1\)）。根与系数的关系（韦达定理）的应用：

若方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的两根为\(x_1,x_2\)，则\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)，常考：已知一根求另一根及参数：如方程\(2x^2+mx-3=0\)的一根为 1，求m和另一根（代入\(x=1\)得\(m=1\)，再由\(x_1x_2=-\frac{3}{2}\)得另一根为\(-\frac{3}{2}\)）。求根的代数式的值：如已知\(x_1,x_2\)是方程\(x^2-3x+2=0\)的根，求\(x_1^2+x_2^2\)（变形为\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9-4=5\)）。构造新方程：如以\(x_1,x_2\)为根的一元二次方程为\(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\)（例：以 2 和 - 3 为根的方程为\(x^2+x-6=0\)）。四、易错提醒解应用题时，需检验根是否符合实际（如长度、时间不能为负）；用韦达定理时，必须先满足 “方程有实根”（即\(\Delta\geq0\)，尤其涉及参数时）；因式分解法解方程时，需先化为 “右边为 0” 的形式，避免漏根（如不能直接将\(x^2=3x\)约分为\(x=3\)，需移项得\(x(x-3)=0\)）。掌握这些题型，能有效应对一元二次方程的基础题、中档题及综合题，建议结合具体例题强化练习，熟练后可提升解题效率和准确率。