埃尔米特

假如你天生残疾，高考踩线勉强进入大学，一年后还被除名，拿不到博士学位——你觉得自己这辈子跟“数学家”这三个字还有关系吗？

一个连学位都拿得磕磕绊绊、当了20年助教都没资格上课的人，凭什么后来成了19世纪最鼓舞人心的数学老师，带出了一整代法国大数学家？

他证明了e是超越数，用椭圆函数攻克了五次方程，他的名字密密麻麻刻在几十个数学概念上——而他的学生名单，读起来像一本法国数学界的“名人录”：阿达玛、达布、庞加莱……

说起来，今天要聊的这位，叫夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）。

1822年的圣诞夜，他出生在法国洛林地区的小镇迪约兹。父亲费迪南·埃尔米特是个正经八百的科班工程师，在盐矿干技术活。但这个人骨子里更想当艺术家，结婚后索性让老婆去管布料生意，自己一头扎进了绘画里。母亲玛德琳·拉勒芒（Madeleine Lallemand）雷厉风行，掌管着整个家族生意。家里七个孩子，埃尔米特排行老六——坦白讲，他的童年和“天才养成计划”没半毛钱关系。

父母没时间管他。从七岁开始，他就被送进了寄宿学校。

他读的是顶级中学——南锡的Collège de

Nancy，后来又转到巴黎的亨利四世中学，最后进入路易大帝中学。对，就是十五年前伽罗瓦（Évariste Galois）待过的那所学校。教他数学的老师叫路易·里夏尔（Louis Richard

），恰好也是当年教伽罗瓦的那位。就像当年发现了伽罗瓦一样，里夏尔一眼看出了埃尔米特的才华，称他为“年轻的拉格朗日”。

历史有时候就像个爱开玩笑的导演，把相似的剧本递给不同的人。

埃尔米特和伽罗瓦确实有不少神似之处。比如，他们都更喜欢读欧拉（Leonhard Euler

）、高斯（Carl Friedrich Gauss）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的原始论文，而不是乖乖刷题备考。他越看课外书越觉得课堂上的东西纯粹是在搬运垃圾，这在应试教育里绝对是“作死”操作——放在今天的中学，老师大概率会找他家长谈话。

埃尔米特

埃尔米特也想去巴黎综合理工学院读书。为此他花了一年时间备考，1841到1842年间跟着名师卡塔兰（Eugène Charles Catalan）

学习。这一次他比伽罗瓦运气好——考上了。但别急着鼓掌：他的录取排名是第68位，说白了就是个“压线生”。

然而，命运马上给了他一个更荒诞的转折。进入巴黎综合理工学院一年后，校方竟以他的残疾为由，引用一道1843年新年实施的命令——“身体不健全者不得进入工科学系”，拒绝让他继续学业。这个决定放在今天妥妥的是歧视，但在当时就这么“理直气壮”地执行了。好在有几位有分量的人替他奔走，最终校方撤销了决定，但附加了一堆苛刻条件。埃尔米特觉得难以接受，索性在1844年新年退学。

讽刺的是，此时的埃尔米特已经发表了一流数学成果——1842年，他在上大学前就写出了“五次代数方程不可解证明”。他不但掌握了柯西（Augustin-Louis Cauchy）和刘维尔（Joseph Liouville）关于一般函数的理论，还吃透了雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）关于椭圆函数的成果，并且把两者结合了起来。一个在数学前沿开疆拓土的人，就是通不过文科的数学考试。

约瑟夫·贝特朗

还好，在大学期间他结识了数学家约瑟夫·贝特朗（Joseph Bertrand）。贝特朗比他大两岁，但已经是巴黎综合理工学院的教授了。贝特朗耐心辅导他，他终于通过补考拿到了学位。更妙的是，在备考过程中，他认识了贝特朗的妹妹——路易丝·贝特朗（Louise

Bertrand）。她后来成了埃尔米特的妻子，也是他一生的贵人。无论他的人生如何起伏——被学校拒之门外、当助教二十年、拿不到博士学位——她一直支持着他的选择。说起来，这段姻缘算是他“补考”带来的意外收获吧。

1848年，埃尔米特勉强毕业后，被巴黎综合理工学院聘为“改作业的助教”和入学考试监考老师。这一干，就是21年。

为什么当不了教授？原因说起来有点尴尬：他遇到考试就发挥失常，拿不到博士学位。在当时的法国学术体系里，没有博士学位，就没法申请教授职位。一个被公认为一流数学家的人，一个1856年就入选了法国科学院的人，一个成果“铺天盖地”的人——就因为那张纸，硬是当了21年的助教，只能批改学生作业和监考，连上课的资格都没有。

你可能会说：这也太死板了吧？

但人家那套体系就是这样：一码归一码。一个人不会因为当选了科学院，就必定要被赏一个教授头衔。做出过重大发现的人，未必是个合格的教授，也未必有指导别人的能力与兴趣。“赢者通吃”是山大王的传统，是对专业本身的不尊重。话虽这么说，但21年助教生涯，换谁心里能没有波澜？好在埃尔米特性格里有种奇怪的“安之若素”——也可能是妻子一直在身边鼓励他。

话说回来，这21年里，埃尔米特的研究成果大爆发。

1858年，他做了一件了不起的事。五次方程不能用根式求解——阿贝尔（Niels Henrik

Abel）和伽罗瓦已经证明过了——但埃尔米特说：不能用根式解，那我换个工具行不行？他用椭圆函数找到了五次方程的一般解法。这就是“能破更能立”：你告诉我这扇门打不开，我干脆在旁边开一扇新窗户。椭圆函数是什么？你可以粗糙地理解为一种比三角函数更“高级”的周期函数，它既有实周期又有虚周期，像一张网一样铺在复数平面上。用这种东西去解五次方程，相当于用三维的眼光去看二维的问题——降维打击的逆操作，升维打击。

1873年，他又扔出一颗炸弹：证明了自然常数e是超越数。所谓超越数，就是不是任何代数方程根的数。换句话说，你不能用有限次的加减乘除和开方把e表示出来。这个证明用到了一个极其精巧的积分构造，像拆炸弹一样精细。他在信里跟朋友说：“我可不想去证明π的超越性了。如果有人去做这件事，没有谁比我更乐见其成功。但是，请相信我，我的朋友，这绝对会让他们大费周折。”结果1882年，德国人林德曼（Ferdinand von Lindemann）接过了这个烫手山芋，成功证明了π也是超越数。

埃尔米特

对了，说到德国人——1870年普法战争后，法国战败，埃尔米特痛恨侵略者，但面对敌国数学家的成就，他依然给予高度赞赏。在他眼里，敌人的数学也是数学。这种胸襟，说实话，没几个人能做到。当时的法国民族情绪高涨，很多学者拒绝跟德国同行来往，但埃尔米特不搞这一套。他知道，数学没有国籍。

各大学终于坐不住了。你一个没博士学位的助教，成果都到这个份上了，还让人家批改作业？于是纷纷邀请他来授课，开出的条件一个比一个诱人。1869年，他终于被母校巴黎综合理工学院和巴黎大学聘为数学教授。那时他的研究成果早已“铺天盖地”，距离他入职助教已经过去了21年，距离他发表第一篇重要论文已经过去了27年。

一个等了27年才当上教授的人，会怎么对待这份迟来的机会？

他用20年的助教生涯沉淀下来的思考，创立了一套启发式人才培养方法。更幸运的是，他遇到了庞加莱（Henri Poincaré）这样的天才——师徒两人互相成就。他的学生名单，读起来像法国数学界的“名人录”：阿达玛（Jacques Hadamard）、达布（Jean-Gaston Darboux）、庞加莱……还有斯蒂尔吉斯（Thomas Stieltjes），学积分的时候总会遇到他的名字。单凭培养出庞加莱这一条，就足以让任何一个数学老师引以为傲。要知道，庞加莱可是被称为“最后一位全才”的人，他在数学、物理、天文、哲学等领域都做出了开创性贡献。

庞加莱

他被称为“19世纪最鼓舞人心的老师之一”。

他培养学生的秘诀是什么？说起来很有意思——自己吃过的苦，绝不再让学生吃。

第一，没有考试。你没看错。缠绕他一生的噩梦——考试发挥失常、高考踩线、拿不到博士学位——终于被他亲手终结在他的课堂上。他不搞期中期末那一套，他认为考试只会让学生把注意力放在应付题目上，而不是真正理解数学的美。这个理念在当时绝对离经叛道，但他的学生就是能在没有考试压力的情况下做出世界级的成果。

第二，重视教材。他重新编写精品教材，在他眼里，大部分教材平庸如废纸。他觉得当时的数学教科书要么太死板，要么太晦涩，没有一个能让学生真正“爱上”数学的。于是他亲自写讲义，把最精华的思想用最清晰的方式呈现出来。这些讲义后来被翻译成多种语言，影响了整整一代欧洲数学家。

第三，特别重视讲课技巧。深入浅出，幽默风趣，让数学不再枯燥。他的学生阿达马后来回忆说：“我不认为那些没听过他课的人，能真正理解埃尔米特的讲授有多么精彩——充满了对科学的热忱，仿佛科学在他的声音里活了过来。他从未停止向我们传达数学的美，因为他自己就是从灵魂深处感受到这种美的。”想象一下，一个拄着拐杖的人站在讲台上，眼睛里闪着光，用颤抖的声音讲着椭圆函数——底下坐着的年轻人，怎么能不被感染？

第四，真诚待人。与学生密切互动，打成一片，没有居高临下的师生关系。他会跟学生一起散步、喝咖啡，讨论数学到深夜。他不在乎学生的出身和背景，只看你有没有真正的热情。据说有一个年轻学生去找他请教问题，紧张得话都说不利索，埃尔米特笑着说：“别紧张，我当年考试从来没及格过。”一句话就把气氛全化解了。

试问这样的神仙老师，怎能不受欢迎？

庞加莱对他的评价很妙：“要说埃尔米特是个逻辑学家？没有比这更不符合事实的了。方法总是以某种神秘的方式在他的头脑中诞生。”这话说得太到位了。做科学如果方法有迹可循、按部就班，那要么是研究者真不会，要么是研究的问题根本没价值。埃尔米特的思维是跳跃的、直觉的，他靠的不是一步步推导，而是突然“看到”答案。这种能力没法教，但他能把这种对数学的直觉传递给学生们。

阿达马还提到过埃尔米特一个很有趣的观点：生物学对数学家来说可能是最有用的学问之一——因为两种研究过程中“隐藏的、最终富有成果的类比”，可能会在某个意想不到的地方冒出来。一个数学家建议去学生物来找灵感，这话搁今天估计会被当成段子。但仔细想想，他说的是“类比思维”——不同领域之间那些看不见的相似性，往往是真正创新的来源。埃尔米特自己就是从椭圆函数和热传导方程之间找到了联系，才有了后来的突破。

埃尔米特

埃尔米特说过一句话，我琢磨了很久：“在数学中，我们的角色更多的是仆人，而非主人。”他还说过另一句更带宗教色彩的话：“谁偏离了天意所铺设的道路，谁就会崩溃。”这话出自一个虔诚的天主教徒之口。但阿达马——一个无神论者——说他完全能理解。你不是在“创造”真理，而是在“侍奉”真理。这种谦卑的自信，跟今天某些“我要颠覆一切”的网红学者形成了鲜明对比。

埃尔米特认为，数学规律本来就存在，数学家只是发现它们的人，而不是发明者。这个立场在哲学上叫“柏拉图主义”——你可能同意也可能不同意，但至少，这种态度让他保持了一辈子的敬畏和热忱。

写到这儿，忽然想聊聊“什么是名人”这个事。

我有个不太严谨的划分。

第一档，把自己的名字纳入了某种现象描述，比如“东施效颦”里的东施和西施。

第二档，把姓氏活成了形容词——牛顿（newtonian）、埃尔米特（hermitian）、黎曼（riemannian）。你翻开任何一本数学或物理的英文教材，这些词满眼都是。

第三档，把姓氏活成了名词——拉普拉斯算子（Laplacian）、拉格朗日量（Lagrangian）、哈密顿量（Hamiltonian）。

第四档最狠，把姓氏活成了动词。据说陈省身先生的名字在英文数学圈里就有这种用法——“Chern it up”，意思就是去计算一个陈数。

按照这个标准，埃尔米特稳稳落在第二档。但考虑到他命名的概念数量之多、覆盖面之广——埃尔米特多项式、埃尔米特矩阵、埃尔米特算符、埃尔米特流形、埃尔米特插值、埃尔米特对称空间、埃尔米特余切恒等式……每一个学数学、学物理的人，都至少跟其中三四个打过照面——说他是“形容词之王”也不为过。

比如一个学物理的学生，在大二的数学课上就很可能会被“埃尔米特”这个名字砸中的。厄米特矩阵——转置共轭等于自身的矩阵，本征值全是实数。后来学量子力学，课本说这样的矩阵对应自伴随算符，本征值是实的，所以可以对应可测量的物理量。再后来学数学物理方程，又碰上了埃尔米特多项式，那一串漂亮的三角形系数，带着权重因子e⁻ˣ²的正交关系，恰好能解量子谐振子。就凭这两项，埃尔米特在物理课本里的“出镜率”已经高得离谱了。

最后说点“多余的话”。

埃尔米特是数学史上绝无仅有的特例。他通不过数学考试，不是数学水平不够，而是他天生反骨，偏不愿在无聊的问题上多花一分钟时间。他是一位极其真诚的人，数学是他的真爱。他不是那种“精致利己”的学者——他知道怎么应付考试（只要他愿意），但他就是不愿意。这种“轴”，贯穿了他的一生。

但他偏偏用椭圆函数解了五次方程，偏偏证明了e是超越数，偏偏让自己的名字密密麻麻地钉在了教科书上，偏偏带出了一整代法国大数学家。

1901年1月14日，埃尔米特在巴黎去世，享年78岁。他走的时候，法国数学界已经进入了庞加莱时代。但每一个那个时代的法国数学家，心里都清楚：他们的“总教头”，是那个拄着拐杖、考试曾经不及格、却教会了他们什么是真正的数学的人。