来源：市场资讯

（来源：数海漫游）

2026年漫游数海考前预测卷如下 (PDF版试题下载链接见文末)，后附逐题详解。

01 试题出处

课程标准、历年真题、数学课本

试题的灵感来源或改编出处如下，全卷所有试题均取自《课程标准》、历年真题与人教版高中数学课本。

• 第1题：2015年华侨港澳台联考15

• 第2题：2019年人教B版必修一习题2-1B 4

• 第3题：2020年人教B版选择性必修二习题4-3A 3

• 第4题：2017年华侨港澳台联考14，2025年八省联考7

• 第5题：2009年华侨港澳台联考18

• 第6题：2001年上海卷文理21；2019年人教A版必修一习题4.2综合运用6；2019年人教B版必修二习题4-6B 4

• 第7题：2003年华侨港澳台联考1，2004年华侨港澳台联考12

• 第8题：2019年人教A版必修二8.4 p124-127；2019年人教B版必修四 11.2 p92-95，习题11-3C 1；2025年修订版《普通高中数学课程标准》课程内容p27

• 第9题：2020年人教B版选择性必修一习题1-2B 3

• 第10题：2020年人教A版选择性必修三习题7.1复习巩固6，复习参考题7复习巩固1；2020年人教B版选择性必修二习题4-1C 1

• 第11题：2007年宁夏回族自治区适应性训练理16；2007年人教B版选修2-1 2.1.2例；2009年华侨港澳台联考21；2019年人教A版必修一习题4.2 综合运用5（2）；2024年新课标I卷11

• 第12题：2019年华侨港澳台联考9

• 第13题：2000年华侨港澳台联考16

• 第14题：2015年全国乙卷理16；2016年版高考理科试题分析p173-176

• 第15题：2006年华侨港澳台联考21；2019年人教A版必修二p18

• 第16题：2017年华侨港澳台联考22，2020年华侨港澳台联考18

• 第17题：2018年华侨港澳台联考22，2022年新高考I卷12，2022年新高考II卷8，2023年四省联考18（1）

• 第18题：2019年人教A版必修一p228练习3；2019年人教B版必修四习题11-1A 7，11-1C 2；2023年新课标II卷22

• 第19题：2007年人教B版选修2-3 第一章小结III 17；2020年人教A版选择性必修三复习参考题6拓广探索10，p77-79；2020年华侨港澳台联考7，2022年华侨港澳台联考12

02 单项选择题解析

单项选择题解析如下。其中，第1题（复数共轭）、第2题（集合运算）、第4题（三角形的中线长）、第5题（等差数列的求和公式）、第7题（绝对值不等式）深化基础性考查，强调通性、通法的落实，确保试卷具备良好的信度与及格面。

《课程标准》要求学生用数学的眼光观察世界，解决真实存在的问题。因此试题选材时避免了生搬硬套的“伪情境”，而是提取了具有现实逻辑的模型。例如：

第3题通过变量间的线性方程与相关性传递关系，考查了统计学中相关系数正负性的实际意义，情境虽小但直指统计学的核心概念（且相关分析与回归分析已多年未在新课标试题中考查）。

第6题以“清洗蔬菜上残留农药”为背景，是基于真实生活经验的数学建模问题。题目描述“用水越多洗掉的农药越多，但总有残留”，要求考生从四个选项中选出最符合实际的函数模型。不仅需要考生把握基本初等函数的性态，更要具备将其与“稀释过程”相映射的数学建模核心素养。值得注意的是，本题有进一步深化的空间：第一，四个选项中a，b的值是可以根据题干材料唯一确定的；第二，函数建模的目的是解决实际问题，下面就给出了一个具体的问题，完全可以作为全国卷的第18题呈现。

上述模型本质上揭示了边际效益的问题，深刻体现了高考《评价体系》中应用性的要求——

当水多时，多次分配能充分利用每一份水的清洁效益。如果一次性全用在某个步骤上，虽然水量大，但可能存在浪费。例如，一部分水带走了农药残留，但剩下的大量水已经没有太多额外清洁能力了。把水分成几份，每次都能接触、冲刷一遍，每次都有效带走一部分农药残留。这样相当于多次“刷新”，总效果更好。

当水少时，多次分配会分散、削弱清洗效果，每份都不足以有效覆盖农药残留，可能连“冲开”农药都不够，还不如集中一次用足。

第7题考查绝对值不等式，该题有多个切入点。

• 取特殊值：容易排除A，B，C选项，体现了一般与特殊的数学思想；

• 分类讨论：按a是否为0，以及|a|与|b|的大小关系开展讨论，体现了分类与整合的数学思想（若以其他条件为讨论依据会更为复杂）；

• 逻辑反转：考虑到绝对值不等式是一定成立的，只需排除取等条件即可，体现了“反证法”的推理范式（见上面的参考答案）。

第8题直接给出了一段立体几何问题的证明过程（该题也是人教B版课本原题），要求考生判断哪一步运用了“平面的基本事实”，考查立体几何的公理化思想。在当前学生过度依赖“空间向量建系”解题的背景下，直击立体几何的逻辑底座，有效考查了学生对数学公理化体系的认知水平。

本题源于2025年修订版《普通高中数学课程标准》（如上图所示）。涉及立体几何基本事实的论述也可以在人教A，B版教材上找到（以人教A版为例见下图）。提醒各位同学，高考前务必回归《课程标准》与数学课本。

值得注意的是，许多同学会误选A选项。A选项看似是公理，实际上是公理的推论（如下）。

03 多项选择题解析

多项选择题解析如下，其中第9题考查空间夹角，第10题考查条件概率与事件的独立性。这两题的命题背景、题干或主导解法均源于人教A版、B版教材的课后习题，引导高考备考回归课本本源。

建议考生在作答第10题时，既要借助Venn图快速判断选项的正确性，又能设计具体、科学的情境解释概率不等式的实际意义，同时还能给出严谨的公式推导，进一步体会概率与统计的数学思想。

第11题将平面向量、导数的知识与平面解析几何的分析方法相结合，体现了函数与方程、数形结合的数学思想，符合《评价体系》中“综合性”的要求。B选项需要考生验证函数图象的切线未必与函数图象仅有1个交点。C，D选项可以借助导数或解方程的方法作答，但计算压力较大，尤其是C选项（对应方程无法在有理数域内实现因式分解）。若考生能根据A，B选项的提示绘制题目中直线与曲线的图象，就能快速判定C，D选项的正确性。该题鼓励考生“多想一点、少算一点”。

值得注意的是，在绘制第11题中的曲线时需要借助2条渐近线（分别是水平渐近线与铅垂渐近线）定位。人教A版必修一专门在指数函数一节的课后习题中设计了如下问题，作答时就需要用到指数函数的水平渐近线。

在2007年3月宁夏回族自治区适应性训练的理科数学试卷中，也以类似的渐近线问题作为填空压轴题（见下，题源Fiddie）。渐近线是刻画函数性态、绘制函数图象的重要依据。

04 填空题解析

填空题解析如下，其中第12题考查等比数列的求和公式（务必搞清等比数列求和公式中n指代的对象），第13题考查二项式定理。

第14题将考生熟悉的“解三角形”问题升格为“解四边形”问题，同时仅仅给定四边形的三个角与直角、平角的不等关系，要求给出四边形两相邻边长的比值，符合《评价体系》中创新性的要求。本题改编自2015年全国乙卷理科数学试题的填空压轴题（见下）。

早在2016年教育部考试中心出版的高考理科试题分析中就给出了上题的推广形式（见下）。事实上，在教育部出版的多份参考资料中，都出现过类似解三角形问题的深化版，有兴趣的读者可以进一步发掘。

05 解答题解析

第15题考查平面向量的数量积运算，答案如下。鉴于2025年版《课程标准》对平面向量的要求有所提升，要求学生能够运用向量运算的思想方法探究几何图形的位置关系和度量关系，因而本卷创新性地用平面向量大题替代传统的解三角形大题。值得注意的是，在今年的高考数学试题（尤其是全国一卷）中，很有可能不再出现解三角形大题。在作答本题时，应尽量采用向量的符号运算或坐标运算书写，其中坐标运算的计算负荷更小。

第16题考查平面解析几何，答案如下。本题要求考生讨论四点是以什么顺序构成平行四边形的，体现了分类与整合的数学思想，这在以往的解析几何问题中较为少见。本题的综合性极强，实现了对平面解析几何知识的覆盖。在（1）中同时考查了椭圆与双曲线两种圆锥曲线，需要考生辨析“焦点”这个概念在椭圆与双曲线中的异同；在（2）中同时考查了点差法、圆锥曲线与直线的位置关系，强调设点法与设线法均为解决解析几何问题的重要通法。

第17题以三角函数为抽象函数的命题背景，设计了极具综合性的函数与导数问题，答案如下。本题没有提供具体的函数解析式，要求考生通过灵活的变量赋值来推导函数的奇偶性与周期性，创新性地将抽象函数方程的问题从小题升格为大题。这是一种高度抗刷题、反套路的创新命题策略，对那些只会机械记背二级结论的考生具有很强的杀伤力，体现了数学抽象、逻辑推理的核心素养。有兴趣的考生可以进一步思考并论证f(x)的导函数的全体对称轴的表达式。

第18题作为全卷的倒数第二个大题，是全卷综合性最强的试题，集三角函数、三角恒等变换、导数、不等式、常见空间几何题的测度于一体。第（1）问要求考生利用导数或正切函数的三角函数线证明超越不等式（严格来说只能采用后者证明）。第（2）问的第（i）小问转向三角恒等变换，需要用到正切函数的半角公式；第（ii）小问转向立体几何，要求比较正n棱柱与圆柱的周长、表面积与体积。考生必须通过半角的正切与正弦关系，将平面几何中的“等周不等式”问题，转化为第（1）问中的不等式，体现了化归与转化的数学思想。这种大跨度的知识融合，极大地拉高了试题的综合难度。

如果考生在做答时缺乏“梯度”意识，很容易把这一道大题做成三道不想干的题目，从而严重挤占考场作答时间。

基于第（1）问与第（2）问的（i）的成果，在作答（2）的（ii）时，主要有如下三种解题思路。

思路一：将圆柱的底面半径r用其他未知量表示，完整表达M与N的体积表达式，并用做差法比较，最后需要用到（1）中的不等式。

许多考生容易想到思路一，却难以在考场上完整执行上述运算步骤，原因在于对思路一需要用到的关键方法（做差法与求根公式）缺乏信心，归根结底是对高中数学《课程标准》缺乏认识。

事实上，做差法比较大小、一元二次方程的求根公式均为人教A、B版必修一课本的重要内容——

思路二：想到（2）的（i）对（2）的（ii）的提示作用，围绕正多边形的内切圆半径与外接圆半径构建所有数学量的关系，并用pi/n这个角度变量表示所有长度，从而有效消减计算负荷，体现“多想少算”与梯度优先的命题理念。

思路三：对于数学能力更强的学生，可以直接利用小学与初中阶段平面几何模块中的等周不等式秒杀本题，用几何定理绕开复杂的代数推演，体现了高考数学对12年基础教育全学段数学知识的统摄作用。

之所以在第（2）问中引入周长c，是受2019年人教B版必修四习题11-1A 7的启发，而这道课本习题背后蕴含的数学思想都被绝大多数考生与教师忽略了。

第19题是本卷的压轴题，情境新颖，题干材料简单，但试题内涵极为深刻。本题表面上需要考生计算抽取卡片数字之和的奇偶性概率，内核却深度依赖排列组合、超几何分布、二项式定理、组合数数列的单调性等知识方法，是一个非常困难的离散数学问题。值得注意的是，今年的全国一卷极有可能以创新情境的数列、概率等离散数学问题为切入点。

考生可以通过观察代数结构快速得到第（2）问的解法，但在紧张的考场环境下，估计大部分考生都无法静下心做到这里（考场上完成19（2）时一定要沉住气，动脑想）。

事实上，本题的（2）还有一种作答思路，即先求出p1的值，然后转向证明pk的奇子列是常数列，甚至可以进一步写出本题情境下pk与p_{k+2}的递推关系，但这种做法的计算量与思维负担都比较大，讨论过程也很难用三言两语写清楚，相比从宏观层面比较奇子列与偶子列的代数结构麻烦了许多。

完成本题的第（3）问是极其困难的，许多省份能做出本题的学生都不超过100人。但基于梯度思维，第（3）问中有许多分数是好拿的，例如——

• 第（1）问中的p_{2k}实际上给出了第（3）问中答案的一半；

• 将第（2）问中的奇子列与第（1）问中p2的值对比，发现奇子列不可能取到数列pk的最大值或最小值，最值必然在偶子列中取到；

• 基于第（2）问中奇子列的表达式写出偶子列的表达式；

• 发现偶子列的表达式与超几何分布的分布列很像……

个别学生可能提前学习过母函数、范德蒙德卷积公式等高阶数学知识，但也无法“秒杀”第（3）问。本题严谨且符合《课程标准》知识要求的推理过程如下：

第（3）问中用到的一些关键思想方法均在旧人教B版、新人教A版的课本上均有体现，读者可参考：

【2007年人教B版选修2-3 第一章小结III 17】

【2020年人教A版选择性必修三 复习参考题6 拓广探索10】

【2020年人教A版选择性必修三 p77-79】

下面进一步给出本题的拓展设问。对于学有余力的学生或数学爱好者，可以进一步探究数列pk的递推关系，或者把2的倍数改为3的倍数、p的倍数，并比较放回摸球和不放回摸球情形下选取数字和数学期望的大小，将本试题的情境与深度进一步向强基计划、甚至高等数学的组合学边界延伸。

06 结语

高考《评价体系》将数学科的基础性、综合性、应用性、创新性作为考查要求，而这份试题就是基于《评价体系》的要求命制的。

命题时大量改编了中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨港澳台学生入学考试的试题（第1题、第4题、第5题、第7题、第11题、第12题、第13题、第15题、第16题、第17题、第19题）。这些试题大都由教育部教育考试院命制，和全国卷高考数学试题共用同一个题库。但对于习惯了内地常规模考套路的学生而言，这些试题更具陌生感，又同近年来高考数学的命题导向保持一致。

又是一年高考季，漫游数海预祝各位考生考试顺利！