义务教育教科书・教师教学用书 数学八年级上册

人教版义务教育教材数学（七～九年级）是以教科书为基础的系列化教材，包括教科书、教师教学用书和其他配套教学资源，由人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心组织编写。

人教版《义务教育教科书・数学（七～九年级）》根据教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准（2022 年版）》）编写，分为六册，每学期一册，内容包括 “数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践” 四个领域。本套教科书在体系结构的设计上，既关注四个领域内容的纵向逻辑结构，又力求反映它们之间的联系与综合，使它们成为一个有机的整体。

教科书体例特点

1. 章首页：设置章名、章引言、章前图，概述本章内容、学习方法。
2. 节编排：按课时设计节引言，渗透数学思想与研究方法。
3. 正文栏目：设置 “观察”“思考”“探究”“归纳”“溯源”，搭配边空 “云朵”“贴士”，引导学生经历知识形成过程。
4. 例题设计：精选典型例题，增设探索性、开放性题目，复杂例题配 “分析”。
5. 习题分层：练习（课时）、习题（节）、复习题（章），分 “复习巩固”“综合运用”“拓广探索” 三级。
6. 选学内容：安排 “阅读与思考”“观察与猜想”“探究与发现”“图说数学史”“信息技术应用”，体现教材弹性。
7. 实践活动：每册 2 个综合与实践、每章数学活动，强化综合性、实践性。
8. 章节小结：配知识结构图、回顾与思考，梳理知识脉络与思想方法。

教师教学用书体例

本书与教科书同步，每章含六部分：

1. 总体设计：概述、学习目标、内容安排、编写思考、教学建议。
2. 教科书分析：正文注释、练习答案、知识结构、重难点解析。
3. 习题参考答案：分层次给出答案与解题步骤。
4. 教学设计案例：课时 / 单元完整教学设计（内容解析、目标、问题分析、过程、检测）。
5. 拓展资源：知识延伸、数学史料、拓展问题。
6. 评价建议与测试题：学业要求、三维评价、水平测试题。

综合与实践活动按总体设计、教科书分析、参考解答、参考资料四部分编写。

本册内容概览

本书为八年级上册教师教学用书，共六章 + 两个综合与实践，课时分配（仅供参考）：

• 第十三章 三角形 —— 约 8 课时
• 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 —— 约 3 课时
• 第十四章 全等三角形 —— 约 10 课时
• 第十五章 轴对称 —— 约 11 课时
• 综合与实践 最短路径问题 —— 约 3 课时
• 第十六章 整式的乘法 —— 约 11 课时
• 第十七章 因式分解 —— 约 7 课时
• 第十八章 分式 —— 约 14 课时

配套数字资源：教材解析、教学资源、教学课例、电子教材，可通过封底提示获取；登录 “人教教师培训服务平台” 免费获取教学资源与培训服务。

目 录

1. 第十三章 三角形
2. 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
3. 第十四章 全等三角形
4. 第十五章 轴对称
5. 综合与实践 最短路径问题
6. 第十六章 整式的乘法
7. 第十七章 因式分解
8. 第十八章 分式
9. 配套数字资源使用说明

第十三章 三角形（节选）

总体设计

三角形是 “图形与几何” 领域核心内容，是全等三角形、四边形、相似三角形的学习基础。本章在小学初步认识基础上，系统学习三角形概念、分类、线段、内角与外角，发展几何直观、空间观念、推理能力与应用意识。

一、学习目标

1. 理解三角形、边、顶点、内角、中线、角平分线、高、重心等概念；会按边分类，体会分类思想。
2. 探索并证明三角形两边之和大于第三边，了解稳定性及应用，发展推理与应用意识。
3. 证明三角形内角和 = 180°，掌握直角三角形两锐角互余及判定，发展空间观念与推理能力。
4. 理解外角概念，掌握外角等于不相邻两内角和，发展几何直观与推理能力。

二、内容安排

• 13.1 三角形的概念：定义、符号、按边分类（不等边、等腰 / 等边）。
• 13.2 与三角形有关的线段：三边关系、稳定性、中线 / 角平分线 / 高、重心。
• 13.3 三角形的内角与外角：内角和定理、直角三角形性质、外角性质。
• 数学活动：搭等边三角形、多边形三角剖分。

重点：三边关系、内角和定理；难点：推理论证与辅助线添加。

三、编写思考

1. 衔接小学与七年级已学（线段、角、平行线），体现知识连续性。
2. 渗透几何研究范式：概念 — 分类 — 性质 — 应用，为后续图形学习奠基。
3. 强化推理证明：从 “剪拼感知” 走向 “逻辑证明”，明确证明必要性，规范表达。

四、教学建议

1. 控制难度：概念重理解，结论重应用，暂不要求证明三线共点。
2. 循序渐进培养推理：从操作到证明，从口头到书面，规范书写。
3. 做实数学活动：动手操作、空间想象、探究规律，积累活动经验。

三、编写思考

3. 注重安排推理论证内容，体现推理能力发展的延续性

学生在七年级下册 “相交线与平行线” 一章中，已经通过简单推理证明了对顶角相等、平行线的性质等图形结论。本章同样要求学生借助简单推理推导三角形相关性质。

“相交线与平行线” 章节已经给出证明的基本概念，本章以 “三角形的内角和等于 180°” 的探究与证明为载体，让学生充分体会证明的必要性。教科书先回顾学生小学阶段通过度量、剪拼得出该结论的学习经历，再点明：测量存在误差，且剪拼仅能验证有限个三角形，而三角形有无穷多种形态，无法依靠实验手段完全证实结论，因此必须借助逻辑推理完成证明。通过逐层分析，帮助学生理解推理证明的价值，强化证明必要性认知。

三角形内角和定理是本章核心重点。教科书依托平行线性质与平角定义完成定理证明，完整实现文字语言、图形语言、符号语言的转化，规范呈现 “已知 — 求证 — 证明” 完整推理流程，全过程助力学生发展几何直观与逻辑推理能力。

本教科书的电子版本由美英桥课本信息网进行整理，请在搜索它进行下载完整版。本章属于学生巩固推理论证能力的过渡阶段，独立完成几何证明对学生存在一定难度。为此教科书侧重解题思路引导，设置多层次问题预留充足思考空间，引导学生完整经历 “发现问题 — 提出猜想 — 分析推导 — 解决问题” 的探究流程。以三角形内角和定理为例，教材配套动手剪拼探究活动，依托操作过程提炼辅助线构造思路，重视思路分析，降低学生几何证明学习门槛。

四、教学建议

1. 精准把控教学要求，合理处理教学内容

本章三角形相关概念仅要求学生达到理解层次，深化拓展可放在后续章节落实。例如三角形角平分线，本章只需学生掌握定义，能根据定义推导等角关系即可。

教科书依据 “两点之间，线段最短” 证明核心结论：三角形两边之和大于第三边。同时设置思考栏目反向探究三条线段构成三角形的判定条件，总结规律：

一般地，若三条线段中任意两条线段长度之和大于第三条线段，则三条线段可以围成三角形；若存在两条线段长度之和小于或等于第三条线段，则无法围成三角形。

教学中仅需结合图形直观解释结论、列举实例验证，不要求学生严格证明该判定定理。

“三角形三条中线交于一点”“三角形三条角平分线交于一点” 仅要求学生识记结论，本章不作证明要求：三角形三条角平分线共点可在下一章《全等三角形》完成证明；三角形三条中线共点将在四边形章节补充证明。

三角形稳定性仅通过动手实验直观感知，待学生学习 “三边分别相等的两个三角形全等” 后，再向学生解释稳定的原理。三角形内角和定理证明难度较高，教学重点放在理解证明逻辑，不必在辅助线构造技巧上过度深挖，避免冲淡核心知识学习；整体推理论证教学遵循循序渐进原则。

2. 依托本章素材，分层培养学生逻辑推理能力

添加辅助线证明三角形内角和定理是学生学习难点，教师不可直接给出辅助线做法，应组织学生动手剪拼、观察实物与示意图，自主提炼两种辅助线构造方法：

① 过△ABC 顶点 A 作直线 l∥BC；

② 延长 BC，过△ABC 顶点 C 作直线 l∥AB。

全程让学生自主参与辅助线构造与完整证明推导。

文字型几何证明题对学生存在理解门槛，教学中结合知识点增加专项练习。如 “直角三角形两锐角互余”“有两个角互余的三角形是直角三角形” 两类命题，可先引导学生画图，再规范书写已知、求证。

证明书写训练分层推进，循序渐进：教师口头说理→学生自主表达；教师板书示范→学生上台展示；教师分步引导→学生独立完整书写；每一步标注依据→仅关键步骤标注理由；无辅助线简单证明→需构造辅助线复杂证明；逻辑混乱书写→条理规范推导。每个阶段精细规划，要求推理过程步步有据，书写格式规范，稳步提升学生推理素养。

3. 结合学情落地数学活动教学

本章设置两项数学活动：搭等边三角形、多边形的三角剖分。

1. 搭等边三角形：活动需要三维空间想象，教材文末配套提示降低难度。教学中鼓励学生动手操作、观察思考，引导学生从平面 3 根磁力棒拼 1 个等边三角形，延伸至立体图形：6 根磁力棒拼出 4 个等边三角形、9 根磁力棒拼更多等边三角形，锻炼学生几何直观与空间观念。

2. 多边形的三角剖分：包含两大探究问题：①n 边形可剖分出多少个三角形；②同一个多边形存在多少种不同三角剖分方式。教学中鼓励学生自主探究，遇困难时教师分步引导、搭建思考阶梯，让学生在自主探究中积累数学活动经验，掌握科学探究方法。

第十三章 三角形

三角形是基础几何图形。从古埃及金字塔、现代建筑，到高压输电塔、微观分子结构，生活中随处可见三角形。工程、机械制造大量使用三角形结构，根源在于三角形独特的几何性质。

任意三角形均包含三条边、三个内角，三边、三角分别存在固定数量关系。小学阶段我们通过测量、剪拼实验，初步得到 “三角形两边之和大于第三边”“三角形内角和等于 180°”，但几何学科中，实验无法严谨证实命题，必须依靠逻辑推理完成证明。本章将系统完成上述结论的严谨推导。

教学补充提示：

1. 开展章前图、章引言教学时，紧密结合生产生活实例，让学生明确本章学习价值。引言提及的知识点会在本章后续内容逐一印证：例如通过实验总结三角形稳定性，解释建筑钢架选用三角形结构的原因；利用平行线性质、平角定义证明三角形内角和为 180° 等。

2. 注释说明：“顶点 A 所对的边” 也可表述为 “∠A 所对的边”，简写为 “∠A 的对边”。

13.1 三角形的概念

小学阶段学生已初步认识三角形，本节系统讲解三角形定义、符号表示方法与三角形分类标准。

如图 13.1-1，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作三角形。

• 组成三角形的线段：三角形的边；

• 相邻两边公共端点：三角形的顶点；

• 相邻两边形成的夹角：三角形的内角（简称角）。

示例：图 13.1-1 中，线段 AB、BC、CA 为三边；点 A、B、C 为三个顶点；∠A、∠B、∠C 为三个内角。

顶点为 A、B、C 的三角形记作



，读作 “三角形 ABC”。

△ABC 三边可使用小写字母标记：顶点 A 的对边 BC 记作



，顶点 B 的对边 AC 记作



，顶点 C 的对边 AB 记作



。

◎探究

我们已知：按内角大小可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。若按照边长关系，该如何对三角形分类？请自主思考并与同学交流。

三角形按边长分为三类：

(1) 三边长度均不相等；

(2) 仅有两条边长相等；

(3) 三条边长全部相等。

对应图 13.1-2 (1)(2)(3)。

等腰三角形定义：有两条边相等的三角形。相等的两条边称为腰，剩余一边为底边；两腰夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角。

教学解读

1. 三角形的边、顶点、内角等概念学生小学已有认知，只需理解含义，无需背诵定义。

2. 等边三角形属于特殊等腰三角形：等腰三角形包含两类 —— 腰与底不等的普通等腰三角形、腰与底相等的等边三角形。

课后习题分层说明

1. 基础习题：识别图形中锐角、直角、钝角三角形；数出图中三角形并规范用△符号书写。

2. 综合运用习题：

◦ 第 4 题：借助图形区分等腰三角形与等边三角形，理清二者从属关系。

3. 拓广探索第 5 题：两点分别在两条不同直线上，三点组合构成三角形，解题需有序枚举、不重不漏，培养严谨有序的数学思维。

13.2 与三角形有关的线段

边是三角形基本构成元素，本节研究三角形三边数量关系，同时学习三角形三类核心线段：中线、角平分线、高。

13.2.1 三角形的边

◎探究

任意画出△ABC（图 13.2-1），从点 B 出发沿三角形边线走到点 C，存在几条行走路线？各路线长度存在怎样大小关系？反映三角形三边什么规律？能否证明你的结论？

路线对比：路径 B→A→C 长度大于直接线段 BC，即

，小学已初步认识 “三角形两边之和大于第三边”，下面完成严谨证明。

任取△ABC，将 B、C 视作定点，依据基本事实 “两点之间，线段最短” 可得：



同理可得：





由此证明：三角形任意两边之和大于第三边。

对不等式②、③移项变形，可推导：



即：三角形任意两边之差小于第三边。

◎思考

上述结论描述已知三角形三边的数量关系；反向思考：三条线段满足什么条件，才能围成三角形？

判定规则：

若三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段，则三条线段可围成三角形；若存在两条线段长度之和小于或等于第三条线段，则无法围成三角形。

学生只需理解该判定方法，无需大量拔高练习。

例题

用一条总长 18 cm 的细绳围成等腰三角形。

(1) 若腰长是底边长的 2 倍，求三角形三边长；

(2) 能否围成一条边长为 4 cm 的等腰三角形？说明理由。

解：(1) 设底边长为



，则腰长为



。



解得



。

三边长分别为

(2) 长度为 4 cm 的边未说明是腰还是底边，分两种情况讨论：

① 4 cm 为底边，设腰长

，不满足 “三角形两边之和大于第三边”，故此情况不成立。

综上：可围成底边长 4 cm 的等腰三角形，无法围成腰长 4 cm 的等腰三角形。

教学提示

审题时提醒学生：“有一边长 4 cm” 未限定边的类型，必须分类讨论。

生活中大量建筑采用三角形结构，原理是什么？

◎探究

取三根木条钉成三角形木架，用力扭动，木架形状不会发生改变，这一性质称为三角形的稳定性。

拓展应用解读

三角形稳定性广泛应用于生产生活：房屋人字梁、栅栏门斜向加固木板、大桥钢架、高压输电线支架、索道支撑结构均采用三角形设计。教学可组织动手实验，让学生自主列举生活实例。

配套练习参考答案

1. 判断线段能否组成三角形

(1) 3、4、8：不能，



；

(2) 5、6、11：不能，



；

(3) 满足任意两边之和大于第三边，可以组成三角形。

2. 两组线段一组无法围成等腰三角形，一组可以围成。

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高

除三边外，三角形包含三类特殊线段：中线、角平分线、高。

1. 三角形中线

如图 13.2-5 (1)，连接△ABC 顶点 A 与对边 BC 中点 D，线段 AD 称作 BC 边上的中线。

任意三角形有三条中线，三条中线交于同一点（图 13.2-5 (2)），该交点叫作三角形重心。

2. 三角形角平分线

如图 13.2-6 (1)，作∠BAC 的平分线交对边 BC 于点 D，线段 AD 称为△ABC 的角平分线。三角形三条角平分线交于一点。

教学实操建议

1. 中线、角平分线、高教学以动手画图为主，让学生自主绘制，形成直观认知；结合图形口述定义，表述不完善处集体订正，同步锻炼文字表达能力。

2. 中线、角平分线全部位于三角形内部；三角形高分三类情况：

◦ 锐角三角形：三条高均在三角形内部；

◦ 直角三角形：一条高在内部，两条直角边互为高；

◦ 钝角三角形：一条高在内部，另外两条高落在三角形外部，垂足在钝角两条邻边的延长线上。

3. 本章整体学习目标梳理：理解三角形相关概念、掌握按边分类方法；熟练运用三边关系、了解稳定性；掌握内角和定理、外角性质；全程发展几何直观、空间观念与推理能力。

4. 三角形概念教学重点突出 “不在同一直线、首尾顺次相接” 两个限定条件，配套反例图形帮助学生理解定义严谨性。

5. 判断三条线段能否构成三角形简便技巧：只需验证较短两条线段长度之和大于最长线段即可，无需逐一验证三组不等式。