幂级数∑[(cos²n)/n(n+1)] 是收敛还是发散？最好有过程。
创始人
2025-06-13 11:13:07
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幂级数∑[(cos²n)/n(n+1)] 是收敛还是发散？最好有过程。
收敛
cos²n有界
1/(n(n+1))收敛
所以收敛
コ鐢燂紝鍜屽悓镐ф墦浜ら亾杩樼畻鏄 笉阌欑殑锛屾让简湁涓嶅皯链嫔弸銆缓型钥扰滑猜屼笖鎴戜篃镐诲拰寮傛 ф病链夊睿鍚岃 瑷 镄勬劅瑙夛紝镐昏 镄勬
收敛

解：把cos²n降此察幂后原式=∑[1/(2n(n+1))+cos2n/(2n(n+1))]=∑[1/御轮(2n(n+1))]+∑[cos2n/(2n(n+1))]
其中后项收敛于0，前项收敛于1/2
后项的收敛性是显然的(因为cos2n是有界的)。这里计算前项，记为T
那么T=∑[1/森拆茄(2n(n+1))]=∑1/2[1/n-1/(n+1)]=n/(2(n+1))(中间求和过程略去，你应该能看懂得是怎么求和的，只给出最终结果)
那么T收敛于1/2
则原级数收敛。证毕。
收闹嫌敛级数的一个必要条件是n->∞时an->0。
但是lim cos(1/n) = 1，所扮弯派以发厅贺散。
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