“我很满意，我的猜想已成为定理。”8月20日，法国雷恩大学雷恩数学研究所荣休教授米歇尔·克鲁泽在给《中国新闻周刊》的邮件中写道。22年前，他提出了以自己名字命名的猜想。

今年夏天，围绕克鲁泽猜想，三篇声称运用AI完成证明的预印本论文接连公开。最早的一篇来自北京协和医院神经外科住院医师、博士后金山木。7月27日，他公开首版论文，供同行阅读和核验。

过去一年，美国康奈尔大学数学系副教授亚历克斯·汤森德常让ChatGPT尝试证明这一猜想。汤森德在接受《中国新闻周刊》采访时说，有时大模型会给出一套看似完整的论证，但继续检查却能发现错误；有时则停在某个关键步骤。

7月30日，汤森德像往常一样又试了一次。那次，ChatGPT搜索互联网后，把金山木的论文链接发给了他，并称没从中找到任何错误。汤森德说，初步浏览没有发现明显问题后，他开始仔细核验其中的数学论证。

随后，美国华盛顿大学应用数学系荣休教授安妮·格林鲍姆、克鲁泽等也从头检查了这一证明。多名接受《中国新闻周刊》采访的数学家表示，经过独立核验，他们均认为这项证明成立。

AI插画/adan

“ChatGPT持续运行了16个小时”

9月1日，金山木又公开了一篇新的预印本论文，进一步研究克鲁泽猜想，并有了突破性进展，但该论文尚未经同行评议。此前，金山木论证该猜想的论文已更新四版，最新一版于8月7日公开。

金山木在首版论文中就写明，ChatGPT提出了一项关键做法，通过改变计算中的取值和结果的组合方式，让原本论证中难以处理的部分恰好抵消。汤森德认为，这一步是证明成立的关键。对此，金山木在首版论文中写得较为简略。汤森德的第一反应是：“如果这是真的，为什么这么多年没人证明出来？”

克鲁泽猜想研究的对象是矩阵。矩阵就是按行列排好的一组数，可以将其想象为一台对数字批量处理的“超级计算器”。克鲁泽猜想想解决一个问题：按照说明书，无论你怎么操作，这一“超级计算器”最终结果的“规模”，最多不会超过操作过程中可能出现的最大“规模”的两倍。

看到金山木的论文后，汤森德用纸笔重新推导，也做了一些数值检验。花了几个小时对上述关键做法展开计算后，他确认论证成立。他形容为“有些神奇”。对证明有约九成把握后，他联系格林鲍姆和其他几名同行，请他们分别核验。几人的核验方式不同，但都认同了论证。

金山木的学习背景同样让汤森德意外。汤森德对《中国新闻周刊》回忆，最初看到论文时，他以为作者受过系统的高等数学训练。后来得知，金山木本科读地质专业，后获得医学博士学位，更深入的数学知识主要来自自学。公开资料显示，金山木本科就读于北京大学，后来进入北京协和医学院“4+4”医学博士项目。

金山木告诉汤森德，自己是在研究经颅超声技术时开始接触矩阵分析。自学过程中，他了解到克鲁泽猜想。这一猜想的表述相对简洁，又把抽象的矩阵运算与平面上的几何图形联系在一起，让他着迷。今年2月，金山木公开了一篇与克鲁泽猜想相关的预印本论文。五个多月后，他上传了证明猜想的论文。

汤森德称，金山木在证明过程中，调用的具体大语言模型为GPT-5.6 Sol。金山木后来把原始任务说明、经过隐私处理的ChatGPT对话记录等上传至GitHub。GitHub是一个存放和共享文件的网站。

汤森德和格林鲍姆在一篇拟发表于美国工业与应用数学学会主办的新闻刊物SIAM News的评论中写道，金山木以OpenAI解另一个数学猜想的提示语为基础，改写后交给ChatGPT作为任务说明。任务说明显示，在运行中，GPT-5.6 Sol被设定为不能联网，也不能读取过往对话、其他项目内容或本地文件。模型被要求探索多条证明路线，反复检查证明是否存在漏洞，只有形成完整证明并通过检查，任务才能结束。

证明开启后，金山木没有中途干预。“金山木告诉我，ChatGPT最终给出证明的那次运行持续了16个小时。”汤森德向《中国新闻周刊》表示。不过，他并不清楚ChatGPT运行过程中的具体细节。就此，本刊记者多次联系金山木采访，均被婉拒。

左图：金山木 图/拟发表于SIAM News的评论 右图：米歇尔·克鲁泽 图/GitHub

“AI补上了最后一块”

8月初，300余名参会者聚集在加拿大魁北克市的拉瓦尔大学，参加2026年算子理论及其应用国际研讨会（IWOTA 2026）。英国雷丁大学数学与统计系博士后研究员瑞安·奥洛克林也在场。会上，克鲁泽猜想的新证明成为焦点。奥洛克林记得，当时与会者普遍认为，如果没有AI，这一猜想很可能不会在今夏被攻克。

奥洛克林从2021年起研究克鲁泽猜想。8月23日，他与《中国新闻周刊》线上视频连线时，用一幅拼图形容这次突破。他认为，假如完整的克鲁泽猜想证明由十块拼图组成，过去多年相关研究已拼好了九块，如今AI补上了最后一块。克鲁泽直言，这次突破主要归于AI。不过，他也强调，金山木理解了这一猜想。

奥洛克林所说的“最后一块”，就在两倍这一倍数上。克鲁泽猜想最终要验证的是所有矩阵都适用于这一上限。2017年，克鲁泽与西班牙巴利亚多利德大学数学家塞萨尔·帕伦西亚取得重要进展。他们证明，对所有矩阵，这一倍数都不会超过1+√2，即约2.414。

奥洛克林说，2017年的证明其实已给出一条很有希望的路线。问题在于，按照原来的方法推到最后，结果总会比2大一点。此后，不少研究者都把注意力放在如何把它压得更小。金山木的证明仍以2017年的工作为基础，同时另辟蹊径。奥洛克林将其比作重新“调了调机器上的旋钮”：基本工具没有换，变化在于怎样使用这些工具。

看完金山木的证明后，奥洛克林意识到，研究者此前已离答案很近。他说，即使没有AI，他预计这一猜想也可能在5年内得到证实。

前述研讨会上，大家谈论的不只有金山木的论文。格林鲍姆从几名与会同行那里听到，荷兰特文特大学应用数学系副教授菲利克斯·施文宁格在会上介绍了另一套克鲁泽猜想证明。这项工作由他与荷兰代尔夫特理工大学应用数学研究所助理教授埃米尔·洛里斯特共同完成。

8月4日，研讨会进行到第二天，埃米尔和菲利克斯将论文上传至预印本平台，与金山木首版论文公开相隔8天。两人在论文中披露，7月25日和26日，他们使用GPT-5.6 Sol Pro模型，重新审视此前将上限推进到约2.414的证明，并寻找进一步改进的方法。

汤森德告诉《中国新闻周刊》，直到7月28日，埃米尔和菲利克斯才得知金山木的工作。第二套证明走了另一条路，同样将上限从约2.414降到2。

在奥洛克林看来，证实这一猜想的关键，在于以合适的方式组合不同的计算结果。人很难逐一尝试所有可能，AI却可以在短时间内尝试更多方案。这或许是AI能在这道题上发挥作用的原因。

“这只是一个开始”

新的证明还在出现。

8月25日，字节跳动科学家罗钦雨公开第三篇声称完成克鲁泽猜想证明的预印本论文。公开资料显示，罗钦雨本科和硕士均为计算机科学背景，并曾在清华大学从事自然语言处理研究。其论文列出两条证明路线，并提供了可由计算机核验的证明材料。这篇论文未经同行评议。

罗钦雨在这项研究中也使用了GPT-5.6 Sol。他在第二版论文中进一步说明了人和AI各自承担的工作。GPT-5.6 Sol参与了两条证明路线的提出、完善和核验，其中包括若干关键思路和推导。罗钦雨负责确定研究方向和最终采用的证明思路，核对数学论证并对论文负责。

奥洛克林看过罗钦雨的论文后告诉《中国新闻周刊》，这套证明本质上是对金山木证明的重新加工，新的内容并不多。

前两套证明出现时间相近，汤森德由此推测，新一代模型可能跨过了某个数学能力门槛。他告诉《中国新闻周刊》，自己在实际使用中观察到，从GPT-5.5到GPT-5.6，模型的数学能力明显提升。GPT-5.6 Sol于7月9日上线，他因此推测，金山木由AI协助完成证明的具体路径，大约从那时起才成为可能。

对奥洛克林而言，这个夏天发生的事，足以改变他对AI数学能力的判断。一年前，至少以自己的体验来看，他还认为自己解决数学问题的能力可能强于AI。短短一年后，他的判断完全改变。“毫无疑问，游戏规则已被彻底改变。”奥洛克林说。

现在，奥洛克林会在数学研究中使用ChatGPT，也会在未来考虑尝试其他AI工具。在他看来，掌握AI对今天的数学家已很重要。面对同一个问题，不会使用AI的人，“会被甩在后面”。

他还做出一个大胆预测：未来5至10年，AI可能至少攻克一道尚未解决的千禧年难题。2000年，美国克雷数学研究所公布7道难题，攻克每道题均能获得100万美元奖金，目前仍有6道未解。若有一道真的由AI攻克，他认为，数学研究的许多规则都会随之改变。

变化也会落到数学家如何评价彼此的工作上。“过去，数学家会因解决一个长期悬而未决的问题而声名鹊起。”格林鲍姆说，如果今后证明中的大部分工作由AI完成，攻克一道难题或许不再像过去那样足以让人扬名。但目前为止，AI在提出猜想方面还没有太多成果。什么问题真正重要、值得投入，仍需人的判断。

奥洛克林认为，将来提出一个真正重要的问题或有价值的猜想，可能比解决或证明它更能体现人的价值。

新的难题也随之出现：如果在一项猜想的证明中，人只负责提出猜想和核查证明，决定性的思路却由AI给出，那么，究竟该算谁解决了这道难题，学术荣誉又该归谁？奥洛克林认为，现在很难把人与AI的贡献截然分开。数学界需讨论出新的规则。

毫无疑问，AI将带来大量的新结果。汤森德和格林鲍姆在前述评论结尾写道：“目前尚不清楚学术界是否具备吸纳可能涌现的海量研究成果的能力。应用数学无疑正迎来一个成果涌现的黄金时代，应用数学家的角色和工作方式，或许也将随之发生巨变。”

克鲁泽并不认为这个夏天发生的事情只是个案。“这只是一个开始。”他说，自己今后将成为一名观察者。至于AI最终会把数学家乃至更广泛意义上的科学家带向哪里，他还不清楚。

记者：牛荷

（niuhe@chinanews.com.cn）

编辑：杜玮