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2025 新教材北京版初中九年级数学（上下册）期末考点

一、数与代数

（一）一元二次方程

1. 方程的概念与形式：深入理解一元二次方程定义，精准判断方程类型，熟悉其一般形式\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a≠0\)），明确各项系数意义。例如，方程\(3x^2 - 5x + 2 = 0\)中，\(a = 3\)，\(b = -5\)，\(c = 2\)。
2. 解法全掌握：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程。如用配方法解\(x^2 + 6x - 7 = 0\)，先配方得\((x + 3)^2 - 9 - 7 = 0\)，即\((x + 3)^2 = 16\)，再开平方求解。
3. 根的判别式应用：依据\(\Delta = b^2 - 4ac\)判断根的情况。当\(\Delta>0\)，方程有两个不等实根；\(\Delta = 0\)，有两个相等实根；\(\Delta<0\)，无实根。以方程\(x^2 - 2x + 3 = 0\)为例，\(a = 1\)，\(b = -2\)，\(c = 3\)，\(\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = -8<0\)，方程无实根。
4. 韦达定理运用：若方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a≠0\)）两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)。如方程\(2x^2 + 3x - 1 = 0\)，两根满足\(x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}\)，\(x_1x_2 = -\frac{1}{2}\)。
5. 实际问题建模：能针对增长率、面积、销售利润等问题构建一元二次方程模型。如销售问题中，某商品进价每件 40 元，售价 60 元时可卖 300 件，售价每降 1 元多卖 20 件，设降价\(x\)元，利润\(y\)元，可列方程\(y = (60 - x - 40)(300 + 20x)\)求解。

（二）二次函数

1. 函数概念与表达式：透彻理解二次函数定义，掌握一般式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a≠0\)）、顶点式\(y = a(x - h)^2 + k\)、交点式\(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)，能依条件确定表达式。已知二次函数顶点为\((1, -2)\)且过点\((2, 3)\)，设顶点式\(y = a(x - 1)^2 - 2\)，代入点坐标可求\(a\)得表达式。
2. 图象与性质剖析：

• 图象特征：明晰二次函数图象是抛物线，\(a>0\)开口向上，\(a<0\)开口向下；对称轴为\(x = -\frac{b}{2a}\)，顶点坐标为\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})\)。
• 性质探究：根据图象分析函数增减性、最值等。如\(y = 2x^2 - 4x + 1\)，\(a = 2>0\)开口向上，对称轴\(x = 1\)，在对称轴左侧\(y\)随\(x\)增大而减小，右侧反之，顶点处有最小值。

1. 函数综合应用：解决二次函数与一元二次方程、一次函数的综合问题，以及实际应用中的最值问题。如求二次函数\(y = -x^2 + 3x + 4\)与\(x\)轴交点，即解\(-x^2 + 3x + 4 = 0\)；在实际问题中，求矩形场地面积最大时的边长，可构建二次函数求解。

二、图形与几何

（一）相似三角形

1. 相似图形基础：理解相似图形概念，掌握相似多边形对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比平方。如相似三角形相似比为\(3:4\)，则周长比\(3:4\)，面积比\(9:16\)。
2. 相似三角形判定：

• 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
• 三边成比例的两个三角形相似。
• 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
• 两角分别相等的两个三角形相似。例如，在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，\(\angle A = \angle D = 50^{\circ}\)，\(\angle B = \angle E = 60^{\circ}\)，可判定\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)。

1. 相似三角形应用：运用相似三角形解决测量物体高度、宽度等实际问题。测量旗杆高度，可在同一时刻测标杆与旗杆影长，利用相似比列方程求解。
2. 位似图形：掌握位似图形概念与性质，位似图形对应点到位似中心距离之比等于位似比，能在坐标系中进行位似变换。以原点为位似中心，将\(\triangle ABC\)放大 2 倍，点\(A(x, y)\)对应点\(A'(2x, 2y)\)。

（二）圆

1. 圆的性质：

• 对称性：了解圆既是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线；又是中心对称图形，对称中心是圆心。
• 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。如圆\(O\)中，直径\(CD\)垂直弦\(AB\)于\(E\)，则\(AE = BE\)，\(\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}\)，\(\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}\)。
• 弧、弦、圆心角关系：同圆或等圆中，相等圆心角所对弧、弦相等；相等弧所对圆心角、弦相等；相等弦所对圆心角相等，所对优弧和劣弧分别相等。
• 圆周角定理：弧所对圆周角是圆心角的一半；同弧或等弧所对圆周角相等；半圆（或直径）所对圆周角是直角，\(90^{\circ}\)圆周角所对弦是直径。在圆\(O\)中，\(\angle AOB = 120^{\circ}\)，弧\(AB\)所对圆周角\(\angle ACB = 60^{\circ}\)。

1. 位置关系：

• 点与圆：设圆半径为\(r\)，点到圆心距离为\(d\)，\(d>r\)点在圆外，\(d = r\)点在圆上，\(d
• 直线与圆：设圆半径为\(r\)，圆心到直线距离为\(d\)，\(d>r\)直线与圆相离，\(d = r\)直线与圆相切，\(d

1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分两条切线夹角。从圆\(O\)外点\(P\)引切线\(PA\)、\(PB\)，切点为\(A\)、\(B\)，则\(PA = PB\)，\(\angle APO = \angle BPO\)。
2. 正多边形与圆：熟悉正多边形中心、半径、边心距、中心角概念，能进行相关计算。如正六边形外接圆半径为\(8\)，其边长等于半径为\(8\)，内角和\((6 - 2)×180^{\circ} = 720^{\circ}\)，每个内角\(120^{\circ}\)，可分割为六个全等正三角形求面积。
3. 弧长与扇形面积：牢记弧长公式\(l = \frac{n\pi r}{180}\)（\(n\)为圆心角度数，\(r\)为半径），扇形面积公式\(S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{1}{2}lr\)。半径为\(5\)，圆心角为\(90^{\circ}\)的扇形，弧长\(l = \frac{90\pi×5}{180} = \frac{5\pi}{2}\)，扇形面积\(S = \frac{90\pi×5^2}{360} = \frac{25\pi}{4}\)。

（三）锐角三角函数

1. 函数概念：在直角三角形中，理解锐角三角函数定义，正弦\(sinA = \frac{\angle A的对边}{斜边}\)，余弦\(cosA = \frac{\angle A的邻边}{斜边}\)，正切\(tanA = \frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}\)。
2. 特殊角函数值：牢记\(30^{\circ}\)、\(45^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)特殊锐角三角函数值。\(sin30^{\circ} = \frac{1}{2}\)，\(cos30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(tan30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)等。
3. 解直角三角形：已知直角三角形部分元素（除直角外至少一边），能求其余元素。如在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，已知\(\angle A = 30^{\circ}\)，\(a = 5\)，可求其他边和角。
4. 实际应用：运用锐角三角函数解决测量物体高度、距离等实际问题。测量建筑物高度，可测仰角和观测点到建筑物距离，利用三角函数求解。

三、统计与概率

（一）统计

1. 数据收集整理：依据调查目的合理选择全面调查或抽样调查，设计有效问卷收集数据，能分组整理数据，绘制频数分布表、直方图。了解全校学生对某课程喜爱程度，可抽样调查，对回收数据整理分析。
2. 数据分析：理解平均数、中位数、众数、方差意义，能计算并分析数据。如数据\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，平均数\(\frac{1 + 2 + 2 + 3 + 4}{5} = 2.4\)，中位数\(2\)，众数\(2\)，方差可依公式算出，反映数据集中与离散程度。

（二）概率

1. 事件与概率基础：准确区分必然事件、不可能事件、随机事件，理解概率反映事件发生可能性大小，\(0\leq P(A)\leq1\)，必然事件概率为\(1\)，不可能事件概率为\(0\)。如太阳从东方升起是必然事件，概率为\(1\)；掷骰子得\(7\)点是不可能事件，概率为\(0\)。
2. 列举法求概率：一次试验涉及两个因素（如掷两枚骰子）用列表法列举结果求概率；涉及三个或更多因素用树状图法。同时掷两枚硬币，用列表法得（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）共 4 种结果，两枚都正面朝上概率为\(\frac{1}{4}\)。
3. 频率估计概率：大量重复试验中，事件发生频率稳定在某常数附近，该常数可估计事件概率。抛硬币试验，随抛掷次数增加，正面朝上频率稳定在\(0.5\)左右，可估计正面朝上概率为\(0.5\)。