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八年级英语（上册）电子课本在线阅读

九年级数学是初中阶段知识的 “整合与拔高” 阶段，核心是衔接初中基础与高中数学思维，重点围绕 “代数深化、几何综合、函数应用、统计概率” 四大模块展开，既有对七八年级知识的延伸，也有新增的重难点（如二次函数、圆的综合）。以下从核心知识点拆解、学习重点、常见难点突破三方面详细说明，帮你系统掌握九年级数学：

一、核心知识点模块（按教材顺序梳理）

模块 1：一元二次方程（代数基础延伸）

是八年级 “一元一次方程” 的进阶，也是后续学习二次函数的基础，重点在于 “解法” 和 “实际应用”。

• 核心内容：

1. 定义与一般形式：只含一个未知数，未知数最高次数是 2 的整式方程，一般形式为\(ax² + bx + c = 0\)（\(a≠0\)，a、b、c为常数），需注意 “\(a≠0\)” 是前提（若\(a=0\)则变为一元一次方程）。
2. 四种解法（需根据方程特点灵活选择）：

• 直接开平方法：适用于 “\((x+m)² = n\)（\(n≥0\)）” 形式，如\((x-3)² = 4\)，解得\(x-3=±2\)，即\(x=5\)或\(x=1\)。
• 配方法：通过 “配方” 将方程化为直接开平方形式，步骤：移项（常数项到右边）→ 二次项系数化为 1→ 两边加 “一次项系数一半的平方”→ 写成完全平方形式，如解方程\(x² - 4x - 1 = 0\)，配方后为\((x-2)² = 5\)。
• 公式法：所有一元二次方程通用，求根公式为\(x = \frac{-b±\sqrt{b² - 4ac}}{2a}\)，需先计算 “判别式\(\Delta = b² - 4ac\)”：
• \(\Delta > 0\)：方程有两个不相等的实数根；
• \(\Delta = 0\)：方程有两个相等的实数根；
• \(\Delta < 0\)：方程无实数根（初中阶段）。
• 因式分解法：适用于方程能分解为两个一次因式乘积的形式，如\(x² - 2x = 0\)，分解为\(x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。

1. 实际应用：列方程解决 “增长率问题”“面积问题”“利润问题”，如 “某商品原价 200 元，连续两次降价后售价 162 元，求平均每次降价的百分率”，需设百分率为x，列方程\(200(1-x)² = 162\)。

模块 2：二次函数（代数与几何结合的核心）

是九年级数学的 “重中之重”，贯穿代数、几何综合题，也是中考压轴题高频考点，需掌握 “图像、性质、应用” 三大维度。

• 核心内容：

1. 三种表达式（灵活转换，对应不同题型）：

• 一般式：\(y = ax² + bx + c\)（\(a≠0\)），可直接求与y轴交点（\((0,c)\)），通过配方化为顶点式。
• 顶点式：\(y = a(x-h)² + k\)（\(a≠0\)），直接看出顶点坐标\((h,k)\)和对称轴\(x=h\)，适用于求最值、平移问题。
• 交点式：\(y = a(x-x₁)(x-x₂)\)（\(a≠0\)，\(x₁\)、\(x₂\)是抛物线与x轴交点的横坐标），适用于已知与x轴交点的题目。

1. 图像与性质（关键看a的符号）：

• \(a>0\)：抛物线开口向上，有最低点（顶点），当\(x=h\)时，y有最小值k；在对称轴左侧（\(xh\)），y随x增大而增大。
• \(a<0\)：抛物线开口向下，有最高点（顶点），当\(x=h\)时，y有最大值k；在对称轴左侧（\(xh\)），y随x增大而减小。

1. 实际应用：求 “最大利润”“最大面积”，如 “用长 20 米的篱笆围矩形菜园，怎样围面积最大”，需设矩形一边长为x，面积\(y = x(10-x) = -x² + 10x\)，根据顶点式得最大值为 25 平方米（此时\(x=5\)，即正方形）。
2. 与一元二次方程的关系：抛物线与x轴的交点横坐标，就是对应一元二次方程\(ax² + bx + c = 0\)的实数根，判别式\(\Delta\)也决定了交点个数（\(\Delta>0\)：2 个交点；\(\Delta=0\)：1 个交点；\(\Delta<0\)：无交点）。

模块 3：旋转与圆（几何综合重点）

“旋转” 是图形变换的延伸（七八年级学平移、对称），“圆” 是初中几何的 “集大成者”，常与三角形、四边形、函数结合出综合题。

• 旋转核心内容：

1. 定义与性质：图形绕某一点（旋转中心）按一定角度（旋转角）转动，性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应线段、对应角相等；旋转前后图形全等。
2. 中心对称：特殊的旋转（旋转角 180°），性质：对应点连线经过对称中心且被对称中心平分；中心对称图形（如平行四边形、圆）的识别。
3. 应用：利用旋转构造全等三角形，解决 “线段和差”“角度计算” 问题，如 “在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°，P 是内部一点，PA=1，PB=3，PC=√7，求∠APC 的度数”，可将△APC 绕 C 点旋转 90° 至△BQC，利用勾股定理逆定理求解。

• 圆核心内容：

1. 基本概念：圆心、半径、直径、弧（优弧、劣弧）、弦、圆心角、圆周角、切线、割线。
2. 重要性质与定理（中考高频）：

• 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧（逆定理也常用，如 “平分弦（非直径）的直径垂直于弦”）。
• 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角（90°）。
• 切线性质与判定：切线垂直于过切点的半径（性质）；经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线（判定，需 “连半径、证垂直”）。
• 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

1. 圆的计算：

• 弧长公式：\(l = \frac{nπr}{180}\)（n是圆心角度数，r是半径）；
• 扇形面积公式：\(S_{扇形} = \frac{nπr²}{360}\)或\(S_{扇形} = \frac{1}{2}lr\)（l是弧长）；
• 圆锥侧面积：\(S_{侧} = πrl\)（r是底面半径，l是母线长）。

模块 4：概率与统计（应用性知识点）

在七八年级基础上深化，重点是 “用统计数据分析问题” 和 “计算复杂事件的概率”。

• 核心内容：

1. 统计：

• 数据的集中趋势：平均数（加权平均数）、中位数、众数（理解三者区别，如 “极端值对平均数影响大，中位数更稳定”）；
• 数据的离散程度：方差（\(s² = \frac{1}{n}[(x₁-\bar{x})² + (x₂-\bar{x})² +... + (xₙ-\bar{x})²]\)），方差越小，数据越稳定；
• 统计图表：扇形图（求百分比、总数）、条形图、折线图（分析变化趋势）、频数分布直方图（理解组距、频数、频率）。

1. 概率：

• 随机事件的概率：\(P(A) = \frac{事件A包含的可能结果数}{所有可能结果总数}\)（适用于 “等可能事件”）；
• 用列表法、树状图法计算 “两步或三步试验” 的概率，如 “掷两枚骰子，求点数之和为 7 的概率”，用树状图列出 36 种结果，其中 6 种和为 7，概率为\(\frac{1}{6}\)；
• 用频率估计概率：当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近。

模块 5：相似三角形（几何比例关系核心）

是 “全等三角形” 的延伸（全等是相似的特殊情况，相似比为 1），重点是 “判定” 和 “性质应用”，常与圆、函数结合出综合题。

• 核心内容：

1. 定义与性质：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似，性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
2. 判定定理（需灵活选择）：

• 两角分别相等的两个三角形相似（最常用，如 “AA”）；
• 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（“SAS”）；
• 三边成比例的两个三角形相似（“SSS”）。

1. 应用：测量物体高度（如 “用标杆测旗杆高度”，利用相似三角形对应边成比例）；解决 “比例线段” 问题（如 “在△ABC 中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，求 EC 的长”，由 DE∥BC 得\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)，解得 EC=1.5）。

二、九年级数学学习重点（衔接中考）

1. “代数 + 几何” 综合能力：九年级数学不再是单一模块的考查，而是 “函数与几何结合”（如 “二次函数与圆的综合题”“二次函数与相似三角形的综合题”）、“方程与实际问题结合”，需学会 “用代数方法解决几何问题”（如设坐标求线段长度）、“用几何性质简化代数计算”（如利用圆的对称性求函数顶点）。
2. 解题思路的 “规范性”：尤其是几何证明题（如圆的切线判定、相似三角形证明）和代数计算题（如一元二次方程解法、二次函数最值求解），需按 “步骤书写”，如证明切线需写 “连接 OA（半径）→ 证明 OA⊥AB → 所以 AB 是切线”，避免因步骤缺失扣分。
3. 高频考点的 “针对性突破”：中考中，二次函数综合题（压轴题）、圆的证明与计算、相似三角形应用、概率统计图表分析是 “必考点”，需集中精力攻克这些模块，多做真题，总结解题规律（如二次函数压轴题常考 “求解析式→求顶点→判断线段最值→存在性问题”）