高考数学模拟练习题(十二)（综合练习）（时间120分钟）
一． 计算题：
1. tan10°tan20°tan70°tan80°=sin10°/cos10°×sin20°/cos20°×cos20°/sin20°×cos10°/sin10°=1
2. sin165°=sin（120°+45°）=sin120°cos45°+sin45°cos120°= /2× /2+ /2×（-1/2）= /4×( -1)
二．三角形的三边长分别为4cm，5cm，及 ，求整个三角形内最大角的度数。
解：因为 7 5 4，所以 对应最大角∠A
根据余弦定理：cos∠A=42+52-（ ））2/2×4×5=-1/2
又因为0 ∠A 180°,所以，∠A=120°
三.设A,B,C,是△ABC的内角，求证：sinA+sinB+sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2
证明：因为△ABC中，A+B+C= ,所以，C=
左边=sinA+sinB-sin（A+B）=2sinA+B/2cosA-B/2-2sinA+B/2cosA+B/2=2sinA+B/2(cosA-B/2-coaA+B/2)=2 sinA+B/2×2sinA/2sinB/2，又因为，
C/2=[π-(A+B)]/2，所以，原式=4sinA/2sinB/2cosC/2
四．已知方程2x2-3x+1=0，求一个使它的一个根为已知方程二根的倒数和，另一个根为已知方程二根的积得倒数。
解：求方程的两个根：a=1/x1+1/x2=x1+x2/x1x2=3/2/1/2=3
1/x1x2=1/1/2=2，a+ =5，aβ=6
新方程为：x2-5x+6=0
五．如果a﹥b﹥0求证：lgb/a lg1+b/1+a
证明：根据题意得：（ 1+b/1+a）- b/a=a-b/a（a+1）
因为a-b 0，a 0，所以a（a+1） 0
因此，1+b/1+a b/a，所以，lgb/a 六．已知直线4x+3y-12=0和圆心在（4，7）的一个圆相切，求这个圆的半径长及过圆心即切点的直线方程。 解：根据点到直线的距离公式，得到：d= 4×4+3×7-12 / =5又，l1直线：k1=-4/3 L2直线：K2=3/4，l1⊥l2，l2直线：y-7=3/4（x-4） 则：3x-4y+16=0为所求直线 七．当m取那些值时，直线y=x+m与椭圆x2/16+y2/9=1有一个公共点？两个公共点？没有公共点？当它们有一个公共点时，画出他们的图形。 解：将y=x+m代入椭圆方程得到：x2/16+（x+m）2/9=1 解之得到：25x2+32mx+(16m2-144)=0 利用判别式△求交点的个数：△ 0，-5 m<5有两个公共点 △=0，m= 5，有一个交点，△ 0，m -5或m 5， 没有焦点。 当有一个公共点时，直线与椭圆相切； 当m=-5时，y=x-5，斜率为1，在y轴截距为-5 在椭圆的下方相切，切点为（16/5，-9/5） 当m=5时，直线为y=x+5斜率为1，在y周截距为5，在左下向右上倾斜，在椭圆上方相切，切点为（-16/5，9/5） 八.已知双曲线x2/16-y2/9=1试求以这个双曲线的顶点为焦点，虚轴断电作为短轴端点的椭圆。 解：求双曲线的焦点：a= =5，交点为（-5，0），（5，0）双曲线的虚轴为（0，-3），（0，3），所求的椭圆为：x2/25+y2/9=1 九.已知△ABC内接于圆0，FA是圆0的切线FD∥AC，与AB交于E，与BC交于D，求证：AE×BE=EF×ED 证明：因为FD∥AC，所以，∠EAC=∠FEA,即∠CAB=∠FEA 又FA是切线，即∠FAB=∠ACB,又FD∥AC，∠ACB=∠FDB所以∠FAB=∠FDB,即∠FAE=∠DEB,所以，△AFE和△DEB中，∠FAE=∠EDB,∠AEF=DEB,所以，△AFE △DEB, 所以,AE/DE=EF/BE, AE×BE=EF×ED 十．直平行六面体ABCD-A1B1C1D1，各条棱的长都等于a底面四边形的一个叫A为60°，求它的对角线AC,BD的长。 解：因为各条棱长都是a，连接AC,BD，因为∠A=60°，所以，BD=AD=AB=a，y又，DD1=BD=a，所以∠DBD1=45°所以D1B=a/sin45°= a。 又因为∠B=180°-∠A=120°,所以，∠D=∠B=30°所以AC=sin120°×a/sin30°= a A1C= = =2a。