1.已知集合\( A = \{1, 2\} \)，\( B = \{-1, 0, 1, 2, 3\} \)，则\( A \cap B = \)（）

A.\(\{0, 1, 2, 3\}\)

B.\(\{1, 2, 3\}\)

C.\(\{0, 1, 2,\}\)

D.\(\{1, 2,\}\)

答案：D

2.函数\( f(x) = \frac{4}{\sqrt{3 - x}} \)的定义域为（）

A.\(\{x|x > 3\}\)

B.\(\{x|x < 3\}\)

C.\(\{x|x > 4\}\)

D.\(\{x|x < 4\}\)

答案：B

3.已知向量a=(3,m)，b=(2,-3)，若a·b=0，则 m（）

A.\(-1\)

B.\(-\frac{1}{2}\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(2\)

答案：D

4.在三角形\( ABC \)中，\( B = 120^{\circ} \)，\( AB = 1 \)，\( BC = 2 \)，则\( AC = \)（）

A.\(\sqrt{5}\)

B.\(\sqrt{6}\)

C.\(\sqrt{7}\)

D.\(2\sqrt{2}\)

答案：C

5.双曲线\( \frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{5} = 1 \)的离心率为（）

A.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

B.\(\sqrt{5}\)

C.\(4\)

D.\(5\)

答案：A

6.不等式\( |-2x + 3| < 5 \)的解集为（）

A.\((-\infty, -1)\)

B.\((-1, 4)\)

C.\((4, +\infty)\)

D.\((-\infty, -1) \cup (4, +\infty)\)

答案：B

7.函数\( y = f(x) \)的图像与函数\( y = 2^{x - 1} \)的图像关于\( x \)轴对称，则\( f(x) = \)（）

A.\(2^{-x - 1}\)

B.\(-2^{x - 1}\)

C.\(2^{1 - x}\)

D.\(-2^{-x - 1}\)

答案：B

8.下列函数中，为增函数的是（）

A.\( y = \sin 3x \)

B.\( y = 2e^{1 - x} \)

C.\( y = -\ln x \)

D.\( y = 2e^{2x - 1} \)

答案：D

9.抛物线\( y^{2} = 4x \)的焦点到直线\( 4x - 3y + 6 = 0 \)的距离是（）

A.\(2\sqrt{5}\)

B.\(\frac{6\sqrt{5}}{5}\)

C.\(2\)

D.\(\frac{6}{5}\)

答案：C

10.已知\( a = \log_{5}3 \)，\( b = 2^{0.4} \)，\( c = \frac{1}{2} \)，则（）

A.\( c < b < a \)

B.\( a < c < b \)

C.\( c < a < b \)

D.\( a < b < c \)

答案：C

11.抛4枚质地均匀的硬币，恰好1枚硬币正面朝上的概率（）

A.\(\frac{1}{4}\)

B.\(\frac{3}{8}\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{5}{8}\)

答案：A

12.设\( A \)、\( B \)为平面上的两个定点，\( P \)为该平面上的动点，若\( \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0 \)，则\( P \)的轨迹为（）

A.圆

B.椭圆

C.抛物线

D.双曲线

答案：A

13.数列\(\{ a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}\)，则\(a_{n}\)的前\(n\)项和为

答案：\(2^{n}-1\)

14.点\((m,n)\)在圆\(x^{2}+y^{2}-6x + 8y + 24 = 0\)上，则\(m^{2}+n^{2}\)的最小值为\(4\)

答案：4

15.有\(3\)个相同的球，编号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，从中有放回的随机取\(2\)次，每次取\(1\)个球，则编号为\(3\)的球恰好被取出\(1\)次的概率是

答案：\(\frac{4}{9}\)

16.已知函数\(f(x)=7\sin(\omega x + \frac{\pi}{3})(\omega > 0)\)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为\(3\)

（1）求\(\omega\)

（2）求\(f(x)\)在区间\([0,3]\)的最大值

答案：

解：（1）正弦函数相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，所以周期\(T = 6\)

由\(T = \frac{2\pi}{\omega}\)，得\(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\)

（2）由（1）得\(f(x)=7\sin(\frac{\pi}{3}x + \frac{\pi}{3})\)

当\(x \in [0,3]\)时，\(\frac{\pi}{3}x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]\)，函数在\([\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]\)上递增，在\([\frac{\pi}{2},\frac{4\pi}{3}]\)上递减

所以当\(\frac{\pi}{3}x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}\)，即\(x = \frac{1}{2}\)时，\(\sin(\frac{\pi}{3}x + \frac{\pi}{3}) = 1\)，\(f(x)\)的最大值为\(7\times1 = 7\)。

17.已知\(\{ a_{n}\}\)是等差数列，且\(a_{n+1}=pa_{n}-p\)．

（1）若\(p = 3\)，求\(a_{1}\)

（2）若\(\{ a_{n}\}\)的公差不为\(0\)，求\(p\)

答案：

解：（1）设等差数列的公差为\(d\)，则\(a_{n+1}=a_{n}+d\)

又\(a_{n+1}=3a_{n}-3\)，所以\(a_{n}+d = 3a_{n}-3\)，即\(2a_{n}-d - 3 = 0\)，

因为对所有\(n\)成立，所以\(a_{n}\)是常数，即\(d = 0\)

则\(2a_{1}=3\)，解得\(a_{1}=\frac{3}{2}\)．

（2）由\(a_{n+1}=a_{n}+d = pa_{n}-p\)，整理得\((p - 1)a_{n}-p - d = 0\)

因为对所有\(n\)成立且\(d \neq 0\)，所以\(p - 1 = 0\)且\(-p - d = 0\)

由\(p - 1 = 0\)得\(p = 1\)，带入\(-p - d = 0\)得\(d = -1 \neq 0\)符合条件，所以\(p = 1\)．

18.已知函数\(f(x)=x + \frac{1}{3}ax^{3}\)．

（1）求曲线\(f(x)\)在点\((0, f(0))\)处的切线方程．

（2）若\(a = -1\)，求\(f(x)\)的单调区间．

答案：

解：（1）\(f(0) = 0\)，求导\(f'(x) = 1 + ax^{2}\)，\(f'(0) = 1\)

即斜率\(k = 1\)，则切线方程为\(y - 0 = k(x - 0)\)，即\(y = x\)．

（2）\(a = -1\)，则函数\(f(x) = x - \frac{1}{3}x^{3}\)

求导\(f'(x) = 1 - x^{2}\)，令\(f'(x) = 0\)，即\(1 - x^{2} = 0\)解得\(x = 1\)或\(x = -1\)

当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) > 0\)；当\(x < -1\)或\(x > 1\)时，\(f'(x) < 0\)

则\(f(x)\)的单调递增区间为\((-1, 1)\)，单调递减区间为\((-\infty, -1)\)和\((1, +\infty)\)．