新智元报道

【新智元导读】困扰数论界半个多世纪的Zaremba猜想，被华人数学家张欣用一篇百页论文终结——而关键一击，来自另一位数学家几周前刚刚发表的成果。

数学圈地震！

数学家、香港大学数学系助理教授张欣宣布，在吸收了数学家Ilya Shkredov近期突破性成果的基础上，正式攻克了困扰数学界已久的「扎雷姆巴猜想」（Zaremba's Conjecture）。

预印本：https://arxiv.org/abs/2605.02518

数学家、罗格斯大学杰出教授Alex Kontorovich激动转发学生的这一突破性成就！

一个猜想，50多年没人能动

要理解这个猜想，我们需要进入数字的「显微镜」下——连分数（Continued Fractions）。

任何一个有理数p/q都可以展开成这种叠罗汉式的结构。

这些展开式中的每一个数字，都被称之为「部分商」。

1971年，波兰数学家Stanisław Krystyn Zaremba提出了一个关于连分数的猜想：

对于任何正整数q，都存在一个与之互素的a，使得a/q的连分数展开中，所有部分商都不超过某个固定常数A。

也就是说，无论分母q有多大，你总能找到一个分子a，使得这个分数的连分数展开式中，所有的数字都不会超过一个极小的常数。

这听起来违背直觉：数字越大，不是应该越复杂吗？为什么它们会被锁死在一个如此低的天花板之下？

这是美学，更是威力。

满足这一猜想的数字，是数学世界里的「黄金分割点」，它们能生成极其均匀的分布。

在数值积分和伪随机数生成领域，这便是通往「绝对精度」的钥匙。谁掌握了它，谁就掌握了计算文明的精度底线。

但这看似简单的猜想，却让全世界数论学家卡了半个世纪。

原因很简单——它把数论中最刁钻的三种结构缠在了一起：连分数的组合爆炸、丢番图逼近的精度要求、以及筛法的极限边界。

任何一个单独拿出来都够写一篇博士论文。

三个绞在一起，形成了一道几乎无法正面攻克的「极大-极小-极大」问题。

张欣的「技术存货」

张欣，亚历克斯·孔托罗维奇（Alex Kontorovich）的学生。

张欣，现任香港大学数学系助理教授。博士师从Alex Kontorovich，于2014年获石溪大学数学博士学位；2009年7月，毕业于华东理工大学，获计算机科学与技术专业工学学士学位。

Alex Kontorovich本人就是连分数领域的顶级专家。

Alex Kontorovich在普林斯顿大学获得学士学位，在哥伦比亚大学获得哲学博士学位。除了数学，他也颇有音乐造诣。他曾与格莱美获奖乐队克莱兹马提克斯巡演，联合创立了乐队Klez Dispenser，并在蒙特利尔国际爵士音乐节、曼哈顿林肯中心以及克拉科夫犹太文化节等场所演出。

2014年，数学家、菲尔兹奖得主让·布尔甘（Jean Bourgain）和他合作，取得了Zaremba猜想的里程碑式部分进展，证明了猜想对「几乎所有」正整数成立。

论文链接：https://annals.math.princeton.edu/2014/180-1/p03

但「几乎所有」不是「所有」。

从「几乎所有」到「所有」，中间隔着一道数学家最熟悉的深渊：从99%到100%，往往比从0到99%更难。

但在数学家的法典里，99.999...% 并不等于 1。 只要有一个孤立的数字不满足，真理的大厦就留有一道裂缝。这道缝隙，成了后继者们的梦魇。

张欣选择了一条不一样的路。

他花了数年时间积累了基础设施建设，等待一个关键拼图到位。

这个拼图，几周前到了。

Ilya Shkredov的「临门一脚」

直到几周前，俄罗斯数学家Ilya Shkredov像一名精准的狙击手，利用全新的群论工具，攻克了素数（Primes）和素数幂的情况。

近期，他发表的突破性成果，恰好击穿了张欣此前无法逾越的技术瓶颈。

预印本链接：https://arxiv.org/abs/2603.14116

伊利亚·施克雷多夫（Ilya Shkredov），俄罗斯数学家，加法组合学领域的重量级人物。

战场被极度缩小，但危险依然存在。

施克雷多夫的方法虽然精妙，却在面对复杂的「合数」（Composites）时显得力不从心。这就像是已经占领了所有的制高点，却依然无法进入那座由合数构成的迷宫中心。

当时还缺的最后一块拼图，是一个非常技术性的环节：需要在任意模数q的情形下，处理某种SL(2,Z/qZ)「扩张性」（expansion）问题。

张欣敏锐地意识到，施克雷多夫留下的那个「合数真空」，恰好可以被他手中这些关于群扩张的底层工具完美填充。

他将这些极其复杂的群论重型武器，精准地嵌入到了Zaremba猜想的证明框架中，证明一气呵成。

从特定序列到全体整数，最后的天堑瞬间消失。

Zaremba猜想，终结。

稍后，Alex Kontorovich会找时间更详细地讲解Shkredov-Zhang方法的思路。

这不仅是技术的胜利，更是一次浪漫的传承：作为Kontorovich的前学生，张欣亲手为导师十多年前开启的远征，画上了完美的句号。

数学家不接受「几乎」，那是给物理学家的仁慈。张欣用最硬的技术，完成了最绝对的任务。

数学不是独狼游戏

数学界经常出现这种场景：A在山的这一侧挖了十年隧道，差最后三米打不穿；B在另一座山上炸了一个口子，碎石滚下来，正好帮A凿开了最后那堵墙。

这个故事最值得讲的，不是「天才灵光一闪」。

恰恰相反：张欣的证明是一场精心准备的战争。数年的基础设施建设、对领域内所有工具的系统性掌握、对关键缺口的精确定位——然后，在另一个数学家提供了最后那块拼图的瞬间，完成致命一击。

这才是现代数学真正的工作方式。不是一个人关在阁楼里苦想十年，而是一个全球知识网络中的「准备+机遇」模型。

张欣准备了百页的弹药。施克雷多夫递来了引信。

孔托罗维奇看着自己的学生走完了自己没能走完的路。

下一个被终结的世纪猜想，会是什么？

参考资料：

编辑：KingHZ

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