网友来稿：小车单摆模型的速度定量分析
01 题目呈现
如图所示，光滑水平地面上放着质量为的小车，小车上有一个单摆，摆球质量为，摆长为。开始时，小车和摆球处于静止状态，摆线与竖直方向夹角为。经过小段时间后，摆线第一次运动到与竖直方向夹角。求此时小车的速度大小。
02 分析求解
解决这个问题，最容易想到的就是水平方向上动量守恒、系统机械能守恒，于是很容易就能列出下面方程：
其中，和分别表示摆球的水平方向分速度和竖直方向分速度，表示小车的速度。
列出方程之后，可以发现方程有两个，而未知数却有三个，一般遇到这种情况，方程是解不出来的。细细想一下，可以发现题目暗含了其它条件并未被挖掘出来，还有其它方程可以列出来，这个条件就是：约束。
这里的所谓约束，说的是角度一定时，小车的速度、摆球的速度会相互制约，不能随意取值，也就是说，它们的速度满足一定的关系。要挖掘出它们的具体关系，我们需要注意到：在小车参考系中，摆球是做圆周运动的。据此，我们可以画出下面的速度矢量图：
由几何关系易知，球 对 车 与水平方向夹角等于，我们可以在下图中的加阴影的三角形中，根据余弦定理列出方程：
球 对 地 球 对 车 球 对 车
另外，我们还有
球 对 车 车 球 对 地
联立可以解得
我们可以用小车和小球的质量比来简化表达式，即
03 换个方式列约束方程
我们看下面这个阴影标出来的三角形，根据几何关系可以列出方程
这样一来，我们只需要根据即可解出结果。
04 一个巧合
当小车和摆球的质量比时，即黄金比例，摆球运动到最低点时，小车的速度大小是。如果我们将小车固定，摆球运动到最低点时，它的速度大小也正好是。
你觉得这里有没有什么更深层的东西？
05 最后的话
本文原作者是佛山市听音湖实验中学梁启滢老师，我只是做了文字和图片上的润色和简单排版。
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