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一元二次方程是数学与实际生活连接的重要桥梁，其核心是描述 “二次变化” 的规律，广泛应用于面积计算、增长率 / 下降率、利润最大化、运动轨迹、几何问题等多个场景。以下结合具体实例，详细解析其典型应用及解题逻辑：一、核心原理：为什么实际问题会用到一元二次方程？一元二次方程的标准形式为 \(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a≠0\)），其本质是描述 “变量的平方项与一次项、常数项的关系”。当实际问题中存在以下特征时，通常可抽象为一元二次方程：涉及 “平方” 关系（如面积、边长的平方、速度的平方）；涉及 “增长率 / 下降率”（连续两次变化，需用平方表示）；涉及 “最值问题”（如利润最大、成本最低，二次函数顶点对应方程的解）。二、六大典型实际应用场景（附实例与解法）1. 面积问题（最基础应用）核心逻辑：根据图形面积公式（如长方形、正方形、圆形等），结合 “边长变化”“拼接 / 分割” 等条件，建立含未知数的平方项的方程。实例：用长 20 米的篱笆围成一个长方形菜园，要使菜园的面积为 24 平方米，求长方形的长和宽。解析：设长方形的长为 x 米，则宽为 \((10 - x)\) 米（篱笆总长 20 米，长 + 宽 = 10 米）；面积公式：长 × 宽 = 面积，即 \(x(10 - x) = 24\)；整理为一元二次方程：\(-x^2 + 10x - 24 = 0\) 或 \(x^2 - 10x + 24 = 0\)；求解：因式分解得 \((x - 4)(x - 6) = 0\)，解得 \(x_1=6\)，\(x_2=4\)；实际意义：长＞宽，故长为 6 米，宽为 4 米。2. 增长率 / 下降率问题（经济、人口等高频场景）核心逻辑：连续两次增长（或下降）时，最终量 = 初始量 ×\((1±增长率/下降率)^2\)，其中 “平方” 对应 “两次变化”，增长率用 “+”，下降率用 “-”。实例：某公司 2023 年的利润为 100 万元，2025 年利润达到 144 万元，求这两年利润的年平均增长率。解析：设年平均增长率为 x（无单位，用小数表示）；2024 年利润：\(100(1 + x)\) 万元，2025 年利润：\(100(1 + x)^2\) 万元；建立方程：\(100(1 + x)^2 = 144\)；求解：两边同除 100 得 \((1 + x)^2 = 1.44\)，开平方得 \(1 + x = ±1.2\)（负根舍去），故 \(x=0.2=20\%\)；实际意义：年平均增长率为 20%。3. 利润问题（商业决策核心）核心逻辑：利润 =（单价 - 成本）× 销量，当 “单价变化影响销量” 时（如单价涨 1 元，销量降 n 件），利润表达式会出现 “平方项”，可通过方程求 “利润最大” 或 “特定利润对应的单价”。实例：某商品进价为每件 30 元，售价为每件 40 元时，每月可卖出 200 件。若售价每涨 1 元，每月销量就减少 10 件，问售价定为多少元时，每月利润为 2160 元？解析：设售价上涨 x 元，则新售价为 \((40 + x)\) 元，单件利润为 \((40 + x - 30) = (10 + x)\) 元，销量为 \((200 - 10x)\) 件；利润公式：利润 = 单件利润 × 销量，即 \((10 + x)(200 - 10x) = 2160\)；整理方程：展开得 \(2000 - 100x + 200x - 10x^2 = 2160\)，化简为 \(-10x^2 + 100x - 160 = 0\)，两边同除 - 10 得 \(x^2 - 10x + 16 = 0\)；求解：因式分解得 \((x - 2)(x - 8) = 0\)，解得 \(x_1=2\)，\(x_2=8\)；实际意义：售价可定为 42 元（涨 2 元）或 48 元（涨 8 元），均能实现月利润 2160 元。4. 运动轨迹问题（物理场景）核心逻辑：自由落体、抛射体运动等物理过程中，位移与时间的关系为二次函数（如 \(s = vt + \frac{1}{2}at^2\)），当求 “位移为特定值的时间” 或 “落地时间” 时，需解一元二次方程。实例：一个物体从 10 米高的平台以初速度 5 米 / 秒竖直上抛，其高度 h（米）与时间 t（秒）的关系为 \(h = -5t^2 + 5t + 10\)，求物体落地的时间。解析：落地时高度 \(h=0\)，建立方程：\(-5t^2 + 5t + 10 = 0\)；化简：两边同除 - 5 得 \(t^2 - t - 2 = 0\)；求解：因式分解得 \((t - 2)(t + 1) = 0\)，解得 \(t_1=2\)，\(t_2=-1\)（时间为负舍去）；实际意义：物体抛出 2 秒后落地。5. 几何与动点问题（空间关系分析）核心逻辑：当几何图形中存在 “动点”（如点在直线上移动，形成的线段长度满足特定条件），或 “折叠、拼接” 后形成新图形时，可通过勾股定理、相似等性质建立一元二次方程。实例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点 P 从点 A 出发沿 AC 向点 C 运动，速度为 1cm/s，点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 运动，速度为 2cm/s，两点同时出发，求运动几秒后，△PCQ 的面积为 3cm²？解析：设运动 t 秒后，△PCQ 的面积为 3cm²；此时 AP = t cm，故 PC = (3 - t) cm；CQ = 2t cm；直角三角形面积公式：\(\frac{1}{2}×PC×CQ = 3\)，即 \(\frac{1}{2}(3 - t)×2t = 3\)；化简：\((3 - t)t = 3\)，即 \(3t - t^2 = 3\)，整理为 \(t^2 - 3t + 3 = 0\)？ （此处注意计算：实际展开应为 \(\frac{1}{2}×(3-t)×2t = t(3-t) = 3\)，即 \(3t - t² = 3\) → \(t² - 3t + 3 = 0\)？ 不对，若目标面积为 2cm²，则方程为 \(t(3-t)=2\) → \(t²-3t+2=0\)，解得 t=1 或 t=2，更符合实际。此处修正实例目标面积为 2cm²，避免无解情况）；实际意义：运动 1 秒或 2 秒后，△PCQ 的面积为 2cm²。6. 数字问题（整数关系分析）核心逻辑：两位数、三位数等数字问题中，“十位数字”“个位数字” 的关系可通过代数式表示，结合 “数字重组后的值” 建立方程，常含平方项。实例：一个两位数，其十位数字比个位数字大 1，若将这个两位数的十位与个位数字对调，得到的新数与原数的积为 1008，求原两位数。解析：设原两位数的个位数字为 x，则十位数字为 \(x + 1\)；原数：\(10(x + 1) + x = 11x + 10\)；新数：\(10x + (x + 1) = 11x + 1\)；建立方程：\((11x + 10)(11x + 1) = 1008\)；换元简化：设 \(y = 11x + 5.5\)（中点），或直接展开：\(121x² + 121x + 10 = 1008\) → \(121x² + 121x - 998 = 0\)？ （此处计算较复杂，可调整实例数据：若积为 403，展开得 \(121x² + 121x + 10 = 403\) → \(121x² + 121x - 393 = 0\)，仍复杂，故更简单的实例：原数与新数的和为 121，积为 3024，解得原数为 56 或 65，符合 “十位比个位大 1” 的是 65）；实际意义：原两位数为 65。三、解实际问题的通用步骤设未知数：明确 “求什么设什么”（直接设元），或 “设中间量更简单”（间接设元，如增长率问题设增长率为 x）；找等量关系：根据实际场景的公式（面积、利润、增长率等）建立等式；列方程：将等量关系转化为一元二次方程，整理为标准形式；解方程：用因式分解法、配方法、公式法求解（优先选因式分解，复杂时用公式法）；验根：舍去不符合实际意义的根（如负数、超过范围的数，如时间不能为负、边长不能为负）；写答案：结合未知数的含义，用文字表述最终结果。总结一元二次方程的实际应用本质是 “将现实问题抽象为数学模型”，核心在于抓住 “二次变化” 的特征（平方项、连续两次变化、最值关联）。通过上述场景的练习，可快速识别问题中的 “一元二次关系”，并用方程工具解决实际决策、计算、分析类问题。